『３ℓと５ℓで８ℓ』

今まで、度々見たことがあるだろう問題ですが、３ℓと５ℓの容器を使い、４ℓの水を計るにはどうすればよいか？という類の問題です。別に３ℓと５ℓに限ったわけではなく、色々なバージョンがあるようですが。ここで、ちょっとした一般化がされているようで、あるブログで見かけたのですが、二つの素数の容量の容器が二つあれば、その二つの容量を合わせたℓ以内の整数の容量の水を計ることができる、という主張なのです。例えば、３ℓと５ℓの容器があれば、８ℓ以内の整数のℓの水、つまり、１～８リットルの水を計ることができる、というものなのです。
確かに、この場合はできるし、２ℓと３ℓでも、１，２，３，４，５リットルの水をそれぞれ計ることができます。これは、一種の定理のようなこととして知られているのでしょうか？

No.7 回答者： mojitto 回答日時： 2023/12/18 10:10

いろいろな操作で１ℓさえ作れれればどんな数字だっていけるでしょう。

２ℓでさえ斜め45°に傾けたら１ℓできますし。

No.6 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/12/18 00:54

2ℓと4ℓの容器で3ℓの水は計れないけどねえ。

No.5 回答者： Tacosan 回答日時： 2023/12/17 21:14

#3 のような話で最終的には

ベズーの定理
におちつくような気がする.

No.4 回答者： eatern27 回答日時： 2023/12/17 18:33

特定のパズルの話が、一般に(または数学界で)知られているかといわれると、疑問があるのと、"知られている"の判断基準次第だとは思いますが、

適切に数学の言語に置き換えれば、

p,qが異なる素数の時に
0, p 2p, …,(q-1)p をqで割った余りが
0,1,…, q-1を並び替えたものであるか？

という話に帰着するので、"よく知られている"と言えるものにはなるのでは。

No.3 回答者： cage64 回答日時： 2023/12/17 17:53

a,b が互いに素であれば a,2a,3a,...,(b-1)a をbで割った余りはすべて異なる（したがって、1からb-1を並べ替えたもの）

という定理です。
a,bは素数でなくても互いに素であればOKです。

3Lと5Lの場合に添付の図で説明します。
この図の(x,y)の部分が5Lの容器にxL, 3Lの容器にyL入っていることに対応します。
水の移動は、この図で必ず端まで線に沿って移動することに対応します。
右、または上への移動が水を入れる、下、または左への移動が水を出すことに対応します。
(0,0)から出発して(1,0)か(0,1)か(1,3)か(5,1)かに到達すればどれかの容器に1L入っていることになります。

1つの方法として(0,0)から出発して(0,3)-(3,0) といくことを考えます。(3,0)に来たということは5Lの容器に3L入っているということです。
(3,0)から同じように動いて(3,3)-(6,0)といく代わりに
(3,3)-(5,1)-(0,1)-(1,0)といけば, 6も1も5で割った余りは同じです。
これを繰り返す、つまり、右上に進みぶつかったら反射して右下に進み、右端に到達したら左端に戻って右下に進む、
ということを繰り返すと、毎回下の段に来たときには、すべて異なる点を通り、最後には(0,0)に戻る、ということです。
一般的にいえば、a<b で、a,2a,...,(b-1)a を bで割った余りを r1,r2,...,r[b-1]とすれば、同様の操作で水を移すと一番下の段は順に
(r1,0),(r2,0),....(r[b-1],0)に到達している、ということです。

なお、この方法以外にも1Lを作る方法はあるので、水を移す回数を最小にする、とかいう場合は簡単なパズルになります。

この回答へのお礼

ありがとうございます。大変、参考になります。

お礼日時：2023/12/19 17:02

No.2 回答者： kairou 回答日時： 2023/12/17 14:51

単に 数字を使った パズル・クイズの問題です。

算数や数学とは 関係ありません。

No.1 回答者： kamejiro 回答日時： 2023/12/17 14:36

定理というより、クイズ問題です。

ひらめきや発想です。
https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/questio …
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