自明の証明

数学の問題で、時折、証明の過程でこれは自明のことだから、として証明を進めることがありますね。
例えば、整数絡みの問題で、０と２の間にある整数は１のみである、ということを自明のこととして、利用するといったことです。しかし、意地悪な問題で、それが自明であることを示せ、と来たらどうするのでしょう？自明の定義として、『証明する必要のないこと』というのがあるようですが、その証明する必要がない、が正しいかどうか問われたら？先述の整数についてもそうで、もし、こう問われたら整数の定義にまで戻り、小数点以下０が無限に続く数、と述べる必要がある。さらに、そんな整数なる数があることの正当性というか妥当性を示せ、と問われれば、数学の公理にまで言及するということになるのでしょうか？その公理が正しいと証明せよ、となったら…。もうそこまで来ると、限がないから、万が一、いえ、億が一、兆が一にでもそんな問題が出されたら解答欄は白紙で出すか、こんな問題は極めて不適切である旨、書いて提出することにでもなりましょうか。
公理を自明の根拠とし、公理の正当性については（不完全性定理も絡んでくるでしょうが）取り敢えず、正しいといわば約束して、数学を進めていく。そして、うまくない場合が見つかったら、その時で対処法を考え、必要があれば、公理を修正していく、となるのでないか、と思うのですが、どうでしょうか？
また、数学の問題を解く上で、時折、∼は自明であるからということを利用する場合、どこまでを自明として問題に解くのに使ってよいか、を解説したルールブックが市販されているわけではないから（自分はそんなものを見たことがありません）、数学をやり、問題を解いていく経験を重ねていくうち、自然と出来上がっていく、いわば暗黙の了解とでもいうべき数学においてのコモンセンスによって、判断する、ということだと思うのですが？

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/12/10 13:51

「自明である」という言葉の意味は、「証明の必要がない」というよりは、

「証明を書くのはかなり面倒くさいが、書いてみたところであまり面白くない」
と解釈するのが妥当だと思います。数学の証明は、基礎的な所ほど難しい。
証明以前に、その前提となる定義の確認がかなり長くなることが少なくありません。
証明も文章の一種ですから、伝えるべき要旨があります。
基礎について長々語ることが文章の要旨から外れる...と思った場合に
面倒くさいばかりで意義の浅い議論を省略するために使う言葉が「自明」です。
何が自明で、何が語るべき証明かを判断するのは、
御指摘のとおり「コモンセンス」だと思います。
数学のコモンセンスというよりは、その証明を書く人と読む人が属する
コミュニティーにおけるコモンセンスということです。
例えば、1+1=2 についての証明は、算数と初等数学と数学基礎論では
それぞれかなり違います。

No.3 回答者： finalbento 回答日時： 2023/12/10 12:47

「自明」とは数学上の概念ではないので、数学的な意味での「自明の定義」などと言ったものも当然ありません。

そもそも自明とは質問文にも書いてあるように「証明する必要がない」と言った意味ですから、それを証明しろと言っている時点で「自明」の概念と矛盾するはずです。

それから数学において「証明が必要ない」と言う命題は定義と公理だけです。定義とは「○○とは□□の事である」と言ったネーミングの事で、公理とは正しい事を問答無用で仮定した命題の事です。これ以外の命題はどんなにアホみたいな内容であったとしても定理として必ず証明が必要です。証明の記述に出て来る「自明」と言うのは概ね「公理だから」と言う意味かあるいは「わざわざ証明を書くまでもない分かり切った事」と言う意味で用いられているのでしょうから、後者の場合であれば本当はその命題が成り立つ事の証明を書かないといけない事になります。要は「証明の文が煩雑になるのを避けるため大事な所しか書かない」と言う事でしょうし。

そもそも証明の文章は普通、定義と公理から始まって証明したい命題が導き出されるまでの過程を全部書くわけではありません。例えば平面上において「三角形の内角の和は二直角」と言う定理を証明するためには「同位角は等しい」「錯角は等しい」と言った定理を用いるわけですが、それらの証明は普通書きません。なので「自明なので」と言う説明も同様に「みんな分かってる事だから証明はズボラしますね」と言った意味だと考えておけばいいのではと思います。最初に書いたように「自明」とは数学上の概念ではないわけですから、その辺りは概ね常識の範囲で考えて構わないはずです。

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2023/12/10 11:09

「自明である」ということ自体は命題じゃないから示しようがない.

No.1 回答者： something2013 回答日時： 2023/12/10 11:07

数学と言うのは、ゲームと同じで、ルールの元で、

行うゲームです。

そのルールの一つが、自然数、整数とは、という
ルールでしょう。

だから、そのルール上の決まりに従うと、「自明」と
言うことが出てくる。

そのルールが正しいのか、はまた、別の問題でしょう。