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だいぶ前から1=0.999…ではない、1>0.999…になるのでは?という疑問が示されてきています。
これに対する解答として、簡単なものではS=0.999…と置き10S=9.99…との差をとって計算してやれば等式が得られるというものがありますが、より厳密には公比1/10の等比数列の無限和として0.999…が1に限りなく近付く、いわゆる極限値として1=0.999…が成り立つということになると思います。
では、[0.999…]はどうなるのでしょうか?ここで[ ]はガウス記号です。[]の中の数字を超えない最大の整数を表すこの記号内に0.999…が入った場合は、どうなるのか?
等比級数の極限値として、1より小の方向から限りなく1に近付くとするならば、[0.999…]=0となる、つまり変な言い方かもしれませんが、ガウス記号の立場から言えば、1>0.999…として扱うということでよいのでしょうか?

A 回答 (7件)

あなたがいうように今の数学では


0.999…は等比級数の極限値と解釈する決まりになっているから
0.999…は1に等しい。
したがって[0.999…]=[1]=1 になる。
そして
[0.9]、[0.99]、[0.999]、[0.9999]・・・の極限値は0となって
[0.999…]=[1]=1と一致しない、
これは数学的にはガウス関数[x]がx=1で不連続であると解釈します。
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これは、カントールの実無限と言う思想を認めるか認め無いかの問題です。


なので、純粋数学の問題では有りません。

今の数学は実無限を基礎としてるので、認め無い立場なら、極限を基礎としている微分積分や解析学は、理論構成を根本からやり直しとなります。

投稿の答は、実無限を認めるなら1、認め無いなら0です。
ガウス自身は、認め無かったので、「0だよ」と言うでしょう。
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No4のは中学校にて説明があるのですが実際は貴方のような疑問が出てくるでしょう!高校では微積分において極限の考えから


0.9999......=0.9+0.9/10+0.9/100+0.9/1000+.....→(1/10)/(1-0.9)
=(1/10)/0.1=1 と アキレスと亀の話からの疑問でしょうね
詳しくは大学での数学科でのε-⊿論法で理解します
BS放送の 入門微分積分の講義を聞いてください
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1を3で割れば0.3333……が続きます。



おのおのに3を掛けると

1/3  ×3  =1
0.333…×3… =0.999……
になります。

したがって1=0.999……
が成立しますよ。
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0.999…とは、0.9以下9が無限に続く数のことでよろしいですね?



>だいぶ前から1=0.999…ではない、1>0.999…になるのでは?という疑問が示されてきています。

そのたびに毎回 1 と 0.999… に全く差がない同じ値であることが示されてきています。限りなく近いのではなく、全く差が無いのです。

1 - 0.999… はいくらになりますか?
0.000… と、以下0が無限に続くことになります。
つまり 1 - 0.999… = 0
よって 1 = 0.999…
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ガウス記号の立場から言えば、


0.999… = 1 により
[0.999…] = [1] = 1.
迷う余地はない。

ガウス記号 [ x ] は、 x が整数値をとる近傍では不連続なので、
[ lim[n→∞] a(n) ] を考えるときに
lim[n→∞] [ a(n) ] を使って考察しても意味がない。

> より厳密には
> 公比1/10の等比数列の無限和として0.999…が1に限りなく近付く、
> いわゆる極限値として1=0.999…が成り立つということになると思います。

これは、「極限」という言葉の意味を理解していない。
「近づく」で話を誤魔化してしまうと却って解りにくくなるが、
厳密には、公比 1/10 の等比数列の無限和とは
公比 1/10 の等比数列の部分和が限りなく近付く先の目的地 1 のこと。
それを lim[n→∞] Σ[k=1...n] (1/10)^k とか 0.999… とか書く
から、0.999… = 1 となる。
0.999… は、Σ[k=1...n] (1/10)^k じゃなく lim[n→∞] Σ[k=1...n] (1/10)^k
のことだ。
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そもそも [0.999…]をどう定義するのかきちんと決めておかないと話にならない.



で, 中身を「等比級数の極限値として、1より小の方向から限りなく1に近付くとする」のであれば当然「[0.999…]=0」になる. 不連続な関数の (不連続点における) 極限の振舞い, あるいは
関数適用と極限の交換可能性の問題
であって, 「ガウス記号の立場から言えば、1>0.999…として扱う」ということではない.
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