![](http://oshiete.xgoo.jp/images/v2/pc/qa/question_title.png?8acaa2e)
素数は無限にあることのオイラーによる証明方法に関する質問です。
添付ファイルを参照ください。
添付ファイルの(1)が成立するとまず記載されていると思います。
そして、この証明の最後に『有限=無限』となり矛盾すると書かれています。
このことは(1)式が成立しないと言っているのでしょうか?
Q1)何故、成立しない(1)式を、成立すると思わせる様に書いているので
しょうか?
注)(1)式の左辺と右辺の間に=があります。
つまり、素人の私には通常の日本語としては、すんなりと理解できない
様に感じます。
以上、お教え頂けますと有難いです。
![「素数は無限にあることのオイラーによる証明」の質問画像](http://oshiete.xgoo.jp/_/bucket/oshietegoo/images/media/b/542505923_6172b743a5a0a/M.png)
No.3ベストアンサー
- 回答日時:
その(1)の左辺のΣの下の(k=1)は間違いで(k=0)が正しいです
Π_{i=1~n}Σ_{k=0~∞}1/(p_i)^k=Σ_{m=1~∞}1/m
任意の自然数mに対して
m=Π_{i=1~n}(p_i)^(k_i)
となる非負整数( k_i )_{i=1~n}が存在するから
1/m=Π_{i=1~n}1/(p_i)^(k_i)
右辺の1/mに対して
左辺のΠ_{i=1~n}1/(p_i)^(k_i)
が1:1に対応するので
素数の数nが∞であれば(1)が成立するのです
だけれども
素数の数nを有限と仮定したので
(1)式が成立しないと言っているのです
![「素数は無限にあることのオイラーによる証明」の回答画像3](http://oshiete.xgoo.jp/_/bucket/oshietegoo/images/media/1/542836327_61736b38a27c5/M.png)
お世話になります。
大変丁寧、親切な回答有難う御座います。
>右辺の1/mに対して
左辺のΠ_{i=1~n}1/(p_i)^(k_i)
が1:1に対応するので
<ーー例えばm=1の場合と、m=2の場合に
Π_{i=1~n}1/(p_i)^(k_i)はどのように
展開されるのでしょうか?
添付ファイルの
...1/P0^0=1
...1/P0^0=1/2 の所が理解できません。
以上、お教え頂けますと理解が大分進むと思っています。
お手数ですが宜しくお願いします。
No.4
- 回答日時:
m=1の場合は
i=1~nに対して
k_i=0
とするから
Π_{i=1~n}1/(p_i)^(k_i)=Π_{i=1~n}1/(p_i)^0=1
m=2の場合は
p_1=2
k_1=1
i=2~nに対して
k_i=0
とするから
Π_{i=1~n}1/(p_i)^(k_i)=(1/2^1)Π_{i=2~n}1/(p_i)^0=1/2
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