複素数 数III

α、β、γはいずれも0でない複素数とする。
(1) α/βが正の実数ならば、|α+β|=|α|+|β|が成り立つことを示せ。zの共役な複素数をz*とする

僕の解答は
α/βが正の実数であることより
α/β=α*/β*・・・①

(左辺)^2=|α+β|^2
=(α+β)(α*+β*)
=αα*+αβ*+βα*+ββ*
=αα*+2αβ*+ββ*

(右辺)^2=(|α|+|β|)^2
=|α|^2+2|α||β|+|β|^2
=αα*+2|α||β|+ββ*
=αα*+2|α||α*/β*|+ββ* (①より)

としたのですがこの後どうすればよいのかわかりません。

質問者からの補足コメント

• なぜkとおくのですか？
  実数条件は使えないのでしょうか？

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2017/02/20 11:47

No.1 回答者： uyama33 回答日時： 2017/02/20 07:21

α/β=k

とおくと
|α+β|
=|ｋβ+β|
=|(k+1)β|
=|(k+1)||β|
=(k+1)|β|
=k|β|+|β|
=|kβ|+|β|
=|α|+|β|

となる。
ポイントは、ｋ+1が正の実数なので絶対値の外に出せる。
ところです。

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2017/02/20 13:44

まず, 質問文中には式の間違いがあるのでこのままでは絶対にうまくいきません.

そして, それを直せば一応証明の形にはなります. 回りくどいのでふつうは #1 のようにやるだろうけど.

No.3 ベストアンサー 回答者： syotao 回答日時： 2017/02/20 15:38

主さんの出した式の、(左辺)^2と(右辺)^2を見くらべてみると、

αβ*＝|α||β|　が証明できればいいわけです。
そこで、|β|^2＝ββ*よりβ*＝|β|^2/βだから
αβ*＝(α/β)|β|^2 となるので、問題の条件と|β|^2＞0よりαβ*も正の実数になります。
したがって、
αβ*＝|αβ*|＝|α||β*|＝|α||β|　が出てきます。

この回答へのお礼

わかりました！ ありがとうございました

お礼日時：2017/02/20 15:43