素数は無限にあることのオイラーによる証明方法に関する質問です。

素数は無限にあることのオイラーによる証明方法に関する質問です。
添付ファイルを参照ください。
添付ファイルの（１）が成立するとまず記載されていると思います。
そして、この証明の最後に『有限＝無限』となり矛盾すると書かれています。
このことは（１）式が成立しないと言っているのでしょうか？

Q1）何故、成立しない（１）式を、成立すると思わせる様に書いているので
しょうか？

注）（１）式の左辺と右辺の間に＝があります。
つまり、素人の私には通常の日本語としては、すんなりと理解できない
様に感じます。

以上、お教え頂けますと有難いです。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2021/10/23 00:18

画像でなんと書いてあるのかはわからんけど背理法じゃないの?

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2021/10/23 04:50

補足.

(1) 式そのものは成立するんじゃないかなぁ, 細かいところが見えないけど.

No.3 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/10/23 10:54

その(1)の左辺のΣの下の(k=1)は間違いで(k=0)が正しいです

Π_{i=1～n}Σ_{k=0～∞}1/(p_i)^k=Σ_{m=1～∞}1/m

任意の自然数mに対して

m=Π_{i=1～n}(p_i)^(k_i)

となる非負整数( k_i )_{i=1～n}が存在するから

1/m=Π_{i=1～n}1/(p_i)^(k_i)

右辺の1/mに対して
左辺のΠ_{i=1～n}1/(p_i)^(k_i)
が1:1に対応するので

素数の数nが∞であれば(1)が成立するのです
だけれども
素数の数nを有限と仮定したので
(1)式が成立しないと言っているのです

この回答へのお礼

お世話になります。
大変丁寧、親切な回答有難う御座います。

＞右辺の1/mに対して
左辺のΠ_{i=1～n}1/(p_i)^(k_i)
が1:1に対応するので

＜ーー例えばm=1の場合と、m=2の場合に
Π_{i=1～n}1/(p_i)^(k_i)はどのように
展開されるのでしょうか？　
添付ファイルの
...1/P0^0=1
...1/P0^0=1/2 の所が理解できません。

以上、お教え頂けますと理解が大分進むと思っています。

お手数ですが宜しくお願いします。

お礼日時：2021/10/23 17:03

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/10/23 20:36

m=1の場合は

i=1～nに対して
k_i=0
とするから
Π_{i=1～n}1/(p_i)^(k_i)=Π_{i=1～n}1/(p_i)^0=1

m=2の場合は
p_1=2
k_1=1
i=2～nに対して
k_i=0
とするから
Π_{i=1～n}1/(p_i)^(k_i)=(1/2^1)Π_{i=2～n}1/(p_i)^0=1/2