『「a≠0 または b≠0 ⇒ ab≠0」の逆を述べ、その真偽を調べよ』、という問題があり、逆は「ab≠0 ⇒ a≠0またはb≠0」になるのは理解できました。ですが、その真偽が回答では真になっているのですが、僕は「ab≠0ならばaもbもともに0であってはいけないから、“a≠0かつb≠0”になっているべき」と考えて、偽と答えてしまいました。僕の考えのどこが間違っているのでしょうか?“a≠0またはb≠0”というのは、“aとbの少なくても一方が0でない”と考えてはいけないのでしょうか?
宜しくお願いします。
A 回答 (4件)
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No.3
- 回答日時:
>a≠0またはb≠0”というのは、“aとbの少なくても一方が0でない”と考えてはいけないのでしょうか?
正しいですよ、これは。
あなたが引っ掛かっているのは、数学の「ならば」と日常語の「ならば」の意味のずれにあると思います。
ab≠0ならば、a≠0かつb≠0.
はもちろん正しいのですが、
ab≠0ならば、a≠0またはb≠0.
もまた正しいです。ここが日常語とのずれです。日常語では、
ab≠0ならば、a≠0またはb≠0.
a≠0またはb≠0ならば、ab≠0.
の両方が成り立つと考えてしまいがちですが、数学の「ならば」は違います。この場合で言えば、この先入観(?)は、
ab≠0ならば、a≠0かつb≠0.
a≠0かつb≠0または、ab≠0.
の両方が、本当に数学でも成り立つ事から来ていると思います。この状況を区別するために(大学以上の?)数学では、
ab≠0 ⇒ a≠0またはb≠0.
ab≠0 ⇔ a≠0かつb≠0.
という書き方とします。⇔が成り立つなら、⇒も当然成り立ちます。
a≠0かつb≠0ならば、a≠0またはb≠0.
(a≠0かつb≠0 ⇒ a≠0またはb≠0)
はいいですよね?。
ab≠0 ⇒ a≠0かつb≠0 ⇒ a≠0またはb≠0.
という事です。
言葉で言えば、「左辺 ⇒ 右辺」が成り立っても「右辺には、左辺が成り立たない場合も含まれるかも知れない」です。
「左辺ならば、右辺」が成り立っても「右辺には、左辺が成り立たない場合も含まれる知れない」。
解答ありがとうございます。
“真の逆は必ずしも真ではない”ということですよね?
左辺と右辺をごっちゃにしてしまっていました。
参考になりました。ありがとうございます。
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