必要十分条件と同値について

PならばQ(P⇒Q)が真であるということは、
Pが真かつQが真
Pが偽かつQが真
Pが偽かつQが偽
のいずれかなんですよね。

ここから「同値」について考えるときにつまずいてしまったので教えてください。

PとQが「同値である」とはPがQの必要条件であり十分条件でもある、
つまり、P⇒Qが真かつ、Q⇒Pが真であるということですよね。

1つ目の疑問：このときPが偽でQが真のとき、P⇒Qが真だが、Q⇒Pが偽なのでPとQは同値でない、ということで合っていますか？

2つ目の疑問：また、もっとわからないのが、PとQともに偽のとき、
P⇒Qが真かつ、Q⇒Pが真となるのでPとQは同値になるんでしょうか？
感覚的には、そんなはずないと思ってしまうのですが。

数学の問題を解いていてPやQが偽であるパターンを見たことがないので、考えてみて混乱しました。
そもそも高校数学においては命題が偽のときのことは考えなくていいのかもしれませんが気になってしまいました。
難しい用語とかはわからないのでなるべく噛み砕いて説明していただけると幸いです。よろしくお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： Tacosan 回答日時： 2022/06/25 03:32

1: 合ってる.

2: 同値になる.

2 については, 例えば
P と P は同値
なのだからそう考えざるをえない... まあ
「P かつ Q」と「Q かつ P」が同値
の方が考えやすいかも, だけど.