No.5ベストアンサー
- 回答日時:
等式の証明は、字面が複雑な方から単純な方へと
式変形してゆくのが、基本ですよ。そっちの道が、
一本道だからね。
この問題を、敢えて左辺から右辺へ導出したいなら、
両辺を変数 a の多項式と見て、まず、
a=b のとき左辺の値が 0 になることに気づきましょう。
因数定理から、左辺の式は a-b で割り切れる
ことが判ります。その割り算を実行すれば、
右辺の式が得られます。
多項式の割り算は、桁数の多い整数の割り算と
よく似ていますが、慣れていなければ、
「組み立て除法」を google あたりで
探してみるとよいでしょう。
No.7
- 回答日時:
1-x^nについて考えてみる。
1-x^n は1-xで割り切れる(因数定理を使い示せる)ので実際に1-xで割ってみる。
(1-x^n)/(1-x)
この式、よく見ると初項1,公比x,項数nの等比数列の和を意味している。
つまり、
(1-x^n)/(1-x)=1+x+x^2+...+x^(n-1)→1-x^n=(1-x){1+x+x^2+...+x^(n-1)}
となります。後は x= b/a として両辺をa^n倍するとご質問の式が導けます。
No.6
- 回答日時:
「証明」ではないですが,この恒等式の使い方として
左辺から組み立て除法などで右辺を作る,というのはやってできないことはないけれど,
けっこう面倒な計算になります。
しかし,右辺から左辺は,展開して計算すれば,すぐ分かります。
これを公式として暗記しておいて,左辺を見たら右辺の因数分解を思い出す,
というあたりが,正直なところではないかしら。
(少なくとも私の頭の中では,そうです)
No.1
- 回答日時:
a(a^(n-1) + a^(n-2)b + a^(n-3)b^2 + … + ab^(n-2) + b^(n-1))
=a^n+a^(n-1)b+a^(n-2)b^2+・・・・・a^2b^(n-2)+ab^(n-1)
b(a^(n-1) + a^(n-2)b + a^(n-3)b^2 + … + ab^(n-2) + b^(n-1))
=a^(n-1)b+a^(n-2)b^2+a^(n-3)b^3+・・・・・+ab^(n-1)+b^n
という具合に展開すると、
a^(n-1)b+a^(n-2)b^2+・・・・・a^2b^(n-2)+ab^(n-1)
は両者に含まれるので前者から後者をひけばこの部分は消えてしまい、a^n-b^n のみが残ります。
この回答への補足
すいません。質問には証明と書きましたが正しくはどのように左辺を右辺の形に変形していけばいいのでしょうか?確かに等号が成立するのは分かりますがそのアプローチが分かりません。
補足日時:2012/02/29 07:59お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
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