解の公式の証明について

●平方完成による証明

証明の途中式で

a(x2+bx/a+b2/4a2)－b2/4a+c=0

ですが、

なぜb2/4a2と－b2/4aなのですか？

No.5 ベストアンサー 回答者： banzaiA 回答日時： 2018/02/09 14:23

（　　）² 　の形に変形するために（　）内に　ｂ²／４a を加えて（　　）² を完成し、そこからｂ²／４aを減じるのです。

No.4 回答者： tsuyoshi2004 回答日時： 2018/02/09 10:17

b^2/(4a^2)である理由は、(b/(2a))^2だからです。

x^2+kx+lを完全平方するには、
x^2+kx+(k/2)^2-(k/2)^2+l
として、
(x+k/2)^2-(k/2)^2+l
とすることは理解されているでしょうか？

これを
x^2+bx/a+c/aに当て嵌めると、
k=b/a,l=c/aということです。

No.3 回答者： お茶碗持つ方 回答日時： 2018/02/08 15:47

ax²+bx+c=0 (a≠0)

のとき、全体を 1/4a で括るときれいに変形できます。

1/4a {4a²x²+4abx+4ac}
=1/4a {(2ax)²+2b(2ax)+4ac}
※ ここで1次の項の係数の半分の2乗を足して引くのがポイント。
=1/4a {(2ax)+2b(2ax)+b²-b²+4ac}
=1/4a {(2ax+b)²-(b²-4ac)}
ここで後半に出てくるのがいわゆる「判別式」と呼ばれるものです。これが正ならば平方根をとって
=1/4a {(2ax+b)²-√(b²-4ac) ²}
=1/4a {2ax+b+√(b²-4ac)}{2ax+b-√(b²-4ac)}
のように因数分解することができます。

この手順を覚えておくと解の公式は覚える必要はありません。また、和と積のペアがひらめかない2次式もこの方法で確実に因数分解することができます。
実際に数値が与えられている場合は 1/4a は殆どのケースで約分によって消えます。

No.2 回答者： masterkoto 回答日時： 2018/02/08 11:32

ax²+bx+c=0

左辺=a(x²+bx/a)+c
これをa(x+○)²＋~の形にします。

ここで、(x+○)²がbx/aの項を持つためには、
○の中はb/2aでなければならないですよね。
すなわち平方完成すると、
左辺⇒a{x+(b/2a)}²+cという形が現れることになります。

これで完了としてしまうと　展開したときに
a{x+(b/2a)}²+c＝ax²+bx＋ｂ²／４ａ+c
となり　ｂ²／４ａ　が余分にあることになってしまいます。
そこで、ｂ²／４ａを消すために
a{x+(b/2a)}²+cから　ｂ²／４ａを引いてあげることが必要になるわけです。
すなわち
ax²+bx+c=a{x+(b/2a)}²-(b²/4a)+c です。

No.1 回答者： ShowMeHow 回答日時： 2018/02/08 11:19

ax²+bx+c=0

=a(x²+(b/a)x）+c=0
=a(x²+(b/a)x+(b/2a)²-(b/2a)²）+c=0
=a(x+b/2a)²-ｂ²/4a+c
ということです。

x²+nx を平方完成させるためには
ｘ+nx+(n/2)²-（ｎ²/2）²
＝（ｘ+ｎ/2）²-（ｎ/2）²
です。　

わかりにくければ、
（ｘ+ｎ/2）²
を展開すると、（a+b）²＝a²+2ab+b²ですから、
x²+nx+(n/2)²
になるということを見るとわかりやすいかもしれません。