この式の答えとは・・？

ｚを複素数とする（極形式）。
ｚ＾４＋ｚ＾３＋ｚ＾２＋ｚ＋１＝０　これを満たすことの証明は
ド・モアブルの定理からｚ＾５＝１が導きだされ、そのことから因数分解すると、
（ｚー１）（ｚ＾４＋ｚ＾３＋ｚ＾２＋ｚ＋１）＝０　となり、ｚは１ではないことから
証明できるのですが、

ｗ＝ｚ＋１／ｚのｗの値を求めるには、（ｚ＾４＋ｚ＾３＋ｚ＾２＋ｚ＋１）＝０
から、ｚ＾２で除してｚ＾２＋ｚ＋１＋１／ｚ＋１／（ｚ＾２）＝０
（ｚ＋１／ｚ）＾２−２＋（ｚ＋１／ｚ）＋１＝０
ｚ＋１／ｚ＝ｔとすると、　ｔ＾２＋ｔ−１＝０　ｔ＝（ー１±√５）／２

であっていますか？

No.5 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/12/22 20:13

「

これを満たすことの証明は
」
を
「
z^4+z^3+z^2+z+1=0を満たすことの証明は
」
と解釈すると

「
何が
z^4+z^3+z^2+z+1=0を満たす
」
のかわからないので

「
zがz^4+z^3+z^2+z+1=0を満たすことの証明は
」
と解釈すると

z^4+z^3+z^2+z+1=0を満たす
zは
e^(±2πi/5),e^(±4πi/5)
の
4つだけで
それ以外のzはz^4+z^3+z^2+z+1=0を満たさないから

zがz^4+z^3+z^2+z+1=0を満たすことの証明はできないので
問題が間違っています

No.4 回答者： stomachman 回答日時： 2022/12/21 11:44

ええと、もしかして「証明」という言葉の意味がよくお分かりではなくて、変なことを書いてらっしゃるんじゃなかろうか。

　おそらく問題は
「ｚ＾４＋ｚ＾３＋ｚ＾２＋ｚ＋１＝０　を解け（これを満たす複素数zを全部見つけろ）。ただし、解を極形式
　　z = r e^(iθ)
の形で表せ」
という、単にそれだけだろう。

> であっていますか？

もちろん、「（極形式）」になってないからダメ。

　（zに1を代入してみればわかる通り）z≠1だから、両辺に(z-1)を掛け算して
　　z^5 - 1 = 0
である。さて、zを極形式で
　　z = r e^(iθ)
と書き（念の為、これはオイラーの公式によって
　　z = (r cosθ) + i (r sinθ)
ということ）、方程式に代入すると
　　(r e^(iθ))^5 - 1 = 0
より
　　r=1
　　θ=2kπ/5 (kは任意の整数）
だとわかる。

　ここで任意の実数αについて
　　e^(i(α+2nπ)) = e^(iα) (nは任意の整数）
であることに注意すれば、kが0, 1,2,3,4以外の時には、k=0, 1,2,3,4のどれかの場合と同じコタエになってしまうことがわかる。
　そしてk=0のときはz=1だから、これは解ではない。

というわけで4つの解が出る。

No.3 回答者： Tacosan 回答日時： 2022/12/20 21:57

そうじゃない, そうじゃないんだ.

代数学の基本定理から, z^4+z^3+z^2+z+1=0 を満たす z は (たかだか) 4個しかなくって, それ以外の (文字通り無数にある) z ではこの等式が成り立たない. つまり「ｚを複素数とする」という 1文が事実上なんの意味もないってことに気付いてほしいんだよ.

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2022/12/20 16:54

例えば z=0 とおくと

z^4+z^3+z^2+z+1 = 1 ≠ 0
だぜ.

この回答へのお礼

本当ですね。(T_T)ありがとうございます。
ｚ＾５＝１　ｚ＾５−１＝０
（ｚー１）（ｚ＾４＋ｚ＾３＋ｚ＾２＋ｚ＋１）＝ｚ＾５ー１
ｚ＾４＋ｚ＾３＋ｚ＾２＋ｚ＋１＝（ｚ＾５−１）／（ｚー１）＝０
ｚ＾５＝１←これがド・モアブルの定理で出てきていることが抜けていました。
ですので、（１−１）／（ｚー１）＝０　でした。

お礼日時：2022/12/20 19:06

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/12/20 14:06

＞ これを満たすことの証明は

「何が」その式を満たす話をしているのか、
その質問文ではサッパリ判らん。
日本語、大丈夫か？

この回答へのお礼

ｚ＾４＋ｚ＾３＋ｚ＾２＋ｚ＋１＝０　この式の証明ですね。
すみません。

お礼日時：2022/12/20 14:59