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ピタゴラスの定理は辺の長さが虚数でも成り立ちますか?

A 回答 (11件中1~10件)

虚数では無理でしょw。

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「辺の長さ」というのは、2点間の距離のことです。


距離は空間によって異なり、
ピタゴラスの定理が成り立つかどうかは距離空間の定義しだいですが、
どんな距離であっても、その値は実数としておくのが通常です。
参考↓
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%B7%9D%E9%9B%A2 …
「長さが虚数」ってことは無いと思います。
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x,y,s,tは実数


A=(x,y)=x+yi
B=(s,t)=s+ti
とすると
A-B=x-s+(y-t)i
A-Bの共役複素数を(A-B)~とすると
(A-B)~=x-s-(y-t)i
辺ABの長さは
|A-B|
=√{(A-B)(A-B)~}
=√({x-s+(y-t)i}{x-s-(y-t)i})
=√{(x-s)^2+(y-t)^2}

(x-s)^2+(y-t)^2≧0
だから
辺ABの長さ|A-B|は実数になり、
虚数になることはありえない
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愉快な質問だな(笑)。

明日銀行へ行って、窓口で 10000+32000i円だけ金を下ろすことができたら、銀行員が答えを教えてくれるかもしれない。
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x,y,s,tは実数


A=(x,y)
B=(s,t)
とすると
辺ABの長さは
|AB|=√{(x-s)^2+(y-t)^2}

(x-s)^2+(y-t)^2≧0
だから
辺の長さ|AB|は実数になり、
虚数になることはあり得ない
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恐らくは「実数を拡張して複素数を定義したように実数の長さと言う概念を拡張して虚数の長さを定義すればいい」と考えられたのでしょうが、数学における定義とは「好き勝手に決めていい」と言うものではありません。

その定義が果たすべき役割を果たせるかとか、従来の概念を拡張して定義する場合であれば元の概念が持っていた性質を備えているか等の条件を満たす必要があります。

実数の長さの概念を拡張して虚数の長さを定義するとすれば、例えば実数の長さで行っていた「長さを比べる」と言う事ができないとだめですが、虚数には大きさがないので「長さを比べる」と言う事も不可能です。なので仮に虚数の長さなるものを定義したとしても、それは長さとは名ばかりの代物にしかならないでしょう。
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特殊相対性理論に出てくるミンコフスキー空間では、座標は(x, y, z, t)の4成分を持つ。

点O=(0,0,0,0)を基準として、空間軸に沿って1光秒離れた点Pとの距離d(O,P)は
 d((0,0,0,0), (1,0,0,0)) = 1
時間軸に沿って1秒離れた点Qとの距離d(O,Q)は
 d((0,0,0,0), (0,0,0,1)) = i
であり、そしてd(P,Q)は
 d((1,0,0,0), (0,0,0,1)) = √(1² + i²) = 0
ですね。ピタゴラスの定理が成り立っているでしょう。光の経路の長さは常に0なんです。
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そういう空間を定義すれば何でも有りでしょう。


それをピ夕ゴラスの定理と呼んで良いかはさて置き、
虚数軸を持つ空間のノルムを定義すればいい。
どんな意味を持つのか知らないけど。
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長さとは必ず実数です。

前提が間違っているので質問自体が無意味ですを
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「辺の長さ」が虚数で表わされることはあり得ません。



虚数には「大小」もないんですよ。
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