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数1の問題です。
なぜ、こうなるのですか?

「数1の問題です。 なぜ、こうなるのですか」の質問画像

A 回答 (8件)

https://goukaku-suppli.com/archives/40133
二重根号の外し方の式の証明を見てください
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(√(3)-√(2))^2=3-2√(3)√(2)+2=5-2√(6)

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下の方の回答で 理解できると思いますが、


式変形の基本は (a±b)²=a²±2ab+b² です。
つまり a±b=√(a²±2ab+b²) となります。
質問の場合は √3=a, √2=b となります。
尚、この質問の様に a-b になる場合は、必ず a>b となります。
間違いやすい 盲点の一つです。

「二重根号」のキーワードで ネット検索しても 良いでしょう。
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まず、両辺を2乗して式が成り立っていることを確認してください。


それから √3 - √2 > 0 であることも確認すれば、
「なぜ、こうなる」についての数学的解説は完了です。

でも、あなたが聞きたいのは、おそらく
そういう話ではありませんね?

√(5 - 2√6) を二重根号の無い式へ変形したいと思ったら、
第一にすべきは、この式を √(a ± 2√b) という形に見ることです。
今回は、最初から √6 に係数 2 がついていますから、
そのまま a = 5, b = 6 でかまいませんが、2 が無かった場合は
例えば √(5 + √28) = √(5 + 2√7) とか
√(5 - √3) = (1/2)2√(5 - √3) = (1/2)√(20 - 4√3) = (1/2)√(20 - 2√12)
のようにして、なんとか √(a ± 2√b) の形を作りだします。

次に、√(a - 2√b) = √s - √t の両辺を2乗した式を考えて
a - 2√b = s -2√(st) + t から
s+t = a, st = b になるような s, t を求めればよいと判ります。
2次方程式の解と係数の関係を思い出せば、そのような s, t は
x^2 - ax + b = 0 の解ですよね?

x^2 - 5x + 6 = 0 の解は x = 2, 3 ですが、さて、
2, 3 のどちらが s で、どちらが t でしょうか?
ここで冒頭二行目の √3 - √2 が効いてきます。
√(5 - 2√6) は正数であることから、= √3 - √2 なのか
= √2 - √3 なのかが判定できるわけです。

以上が、二重根号を開く操作手順です。
2次方程式を解いたとき、解が有理数になった場合にだけ
二重根号は開くことができます。そこで √ が残れば、
上記の操作をしても、また別の二重根号が現れるだけです。

あと、二重根号が √(a + 2√b) の形なのか
√(a - 2√b) の形なのかには配慮して操作を行ってくださいね。
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√(5-2√6)


=√(√3^2+√2^2-2√2√3)
=√(√3-√2)^2
=√3-√2
「数1の問題です。 なぜ、こうなるのですか」の回答画像4
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5 - 2√6


= 3 - 2√6 + 2
= (√3)^2 - 2(√3)・(√2) + (√2)^2
= (√3 - √2)^2
となるからです。
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