√-1 は、何になるのでしょうか

タイトルの通りです。
√-1　= i でしょうか？
でも、-iやiは、正でも負でもないですよね。

質問者からの補足コメント

• 要するにですね、√1　は、1の平方根のうち、正の方と定義されるので、-1ではなく1になると。
  では√-1が、-iではなく、iなのは、どういう定義かという意味です。
  正でも負でもないのに。
  √-1は、-1の平方根で、-符号がついていない方、という定義でしょうか。
  ならば√-2i　はどうなります？　1-i それとも　i-1　でしょうか。

    補足日時：2024/06/22 13:38

• √a　は、aが正の実数であるときだけ、1つに決まるのであって、
  aが負の場合は、そうはならない。
  で、√(-1) = ±i とするかどうかはともかく、
  √(-1) = i　は、広く認められた考えではない。
  ³√(-1) = -1 も同様、といった事でよいでしょうか。

    補足日時：2024/06/30 20:37

• 訂正します。
  ³√(-1) = -1 は大丈夫、
  n√a　ならば、aが負の実数であっても、nが奇数なら一つに決まると。
  ともかく元の質問である　√-1　= i　は、 広く認められてはいないという事で、
  多分、理解できたと思います。ありがとうございました。

    補足日時：2024/07/02 22:26

No.17 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/06/30 21:06

←補足 06/30 20:37

複素√ を多価関数として √-1 = ±i で扱うにせよ、
一価になるよう枝選択をして √-1 = i または √-1 = -i で扱うにせよ、
√-1 の意味をどのように決めたかを明記してから使う必要がある
ということです。 実√ が、広く正値と合意されているのと違って、
複素√ の扱いは、文献により様々です。各文脈で合意をとる必要がある。

複素√ の事情がよく解っていない人の中には
不用意に √-1 = i としてしまう人も多いし、
やりかたによってはそれでもかまわないのですが、
その延長に、説明なしで √-2 = (√2)i が続いてしまうようでは
Ｎo.15 に書いたようにちょっとマズいのです。

³√-1 = -1 は、その話とは少し違うかな。
実数 x の有理数 p/q 乗 x^(p/q) については、
y = x^(p/q) ⇔ y^q = x^p によって x < 0 の範囲まで
定義域が広げられる場合もあるのです。
p/q の既約分母 q が奇数であれば、問題なく x < 0 まで拡張できます。
p/q = 1/3 の場合も、そのひとつです。

この扱いが広く認められているか否かを詰められると
ちょっと怪しい感もあるのですが、
少なくとも、 √-1 = i よりは普及した考え方だろうと思います。

No.18 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/07/01 10:54

補足日時：2024/06/30 20:37について

³√(-1) = -1 も同様ではありません

3乗して　-1 になる実数は　-1 しかないのです

だから(実数の範囲に限定すれば)

³√(-1) = -1

は　1つに決まるのです

No.16 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/06/26 06:18

正の実数a>0 に対して

√a=a^(1/2)　は、aの平方根のうち、正の方と定義されるのには理由があるのです

(√)という演算は正の実数の集合(R+)の中で閉じているから

√(√a)={a^(1/2)}^(1/2)=a^(1/4)

(√)演算を何回繰り返しても正の実数となるから

√a=a^(1/2)　は、aの平方根のうち、正の方と定義されるのです


ところが

√-1 の場合は

√-1=i
と
√-1=-i
の
どちらを定義しても
虚数となって(√)という演算は実数の範囲で閉じてはいないのです
どちらも複素数平面上では不連続になるのです
従って
√-1=i　と定義することも
√-1=-i　と定義することもありません

複素数平面C上では(√)は2価関数となるのです

w=√zは2価関数だから,これをもっと扱い易くするため,
リーマン面というものを考える
C=(複素数平面)を2枚用意し
これをC1,C2 とする
C1:0≦θ≦2π
C2:(-2π=)2π≦θ≦4π(=0)
とする
実軸上でrが等しく,θ=2πの点同志をを同一点とみなし
またθ=0の点とθ=4πの点とを同一点とみなすことによって
1つの新しい面(Ri)ができる
この(Ri)をw=√zのリーマン面という
このとき
w=√zは(Ri)上の1価関数である

多価関数とリーマン面

https://ieyasu03.web.fc2.com/PhysicsMath/37_Riem …

No.15 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/06/24 09:07

x > 0 で定義される実√ 関数 √x と

x > 0 の範囲では一致するような
複素数全域で正則な関数は存在しません。

そこで、複素√関数を定義するにあたって
それを「多価関数」だとする方法もありますが、
「関数」というか「写像」の定義は一価性なので、
なんだかおかしな話でもあります。

別の方法として、x > 0 の範囲では実√と一致する
一価正則な複素関数を考えると、正則性を保ったまま
定義域を複素数全体まで広げることはできない
...と捉えることもできます。

このとき、複素√が正則でなくなる定義域の縁は
原点と無限遠点を結ぶ曲線ならなんでもよく、
偏角一定の半直線である必要はない。

定義域の縁が -1 と -2 を結ぶ線分を横切るようなもの
であったとすれば、先に述べたように
√-2 = (-√2)√-1 になることもあるわけです。

No.14 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/06/24 06:00

z=re^(iθ) ,(r≧0)のとき

√z=(√r)e^(iθ/2)

r=1
θ=0 のとき　√1=1

θをθ=0から連続的に増加してθ=π　にすると
z=e^(iπ)=-1
√-1=e^(iπ/2)=i

θをθ=0から連続的に減少してθ=-π　にすると
z=e^(-iπ)=-1
√-1=e^(-iπ/2)=-i

だから

√-1=i
と
√-1=-i
の
どちらかに決めることができないのです
だから

√(-1) = ±i

なのです

No.13 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/06/23 21:45

f(z)=√z　を　1価関数として定めると　必ず不連続になるから

f(z)=√z　を　1価関数として定めることができないから

√(-1) = ±i

なのです

計算のためにであっても

√(-1) = i　

とする必要はないし

√(-1) = -i　

とする必要もないのです

√(-1)ならば、演算結果は、-iは除外して、iだけ。
√(-2i)なら、結果が±(1-i)の2つになるのは
不合理なのです

No.12 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/06/23 16:46

Riをw=√zのリーマン面とする

Ri∋z=re^(iθ) ,(r≧0)のとき

√z=(√r)e^(iθ/2)

になるのです

-1=e^(iπ) のとき
√-1=e^(iπ/2)=i

-1=e^(-iπ) のとき
√-1=e^(-iπ/2)=-i

-2i=2e^(3πi/2) のとき
√(-2i)=(√2)e^(3πi/4)=1-i

-2i=2e^(-iπ/2) のとき
√(-2i)=(√2)e^(-iπ/4)=i-1

になります

No.11 回答者： kmee 回答日時： 2024/06/23 11:33

たぶんなんですが。

x,aは実数、nは1以上の整数とすると。
x^n = a の解は(重解、複素数解を含めて) n個存在するけど、y = n√a (aのn乗根)と書いたときには、yが一意に定まるようにしたい。できれば「自然」な感じに。
という思いがあって
n=2 のときは √a≧0 とするのが「自然」と考える人が多かったからそう定義したのではないかと。

※ √a を負の値と定義すると
x^2 = 4 (ただしx>0)
のとき
x = - √4 (√4は負だから、xに合わせるには-√4になる)
x = - (-2)
x = 2
と、なんとも「不自然」な計算になる。

nが奇数のときは、 f(x) = x^n の逆関数として定義するのが「自然」です。


その流れで√(-1) を一意に決めるなら 負の符号が付かない i とするのが「自然」だろうということ。

この回答へのお礼

＞√(-1) を一意に決めるなら 負の符号が付かない i とするのが「自然」

まあ、決めた経緯はそんなところなんだろうと思います。
ただ、√の中身が複素数とか複雑になってきたら、もう決めようがないですよね。

お礼日時：2024/06/23 21:32

No.10 回答者： sorewasennsei 回答日時： 2024/06/23 10:40

z^3-1=0の解は

z=1,{-1+√3√(-1)}/2,{-1-√3√(-1)}/2
です。
{-1+√3√(-1)}/2+{-1-√3√(-1)}/2+1=0
[{-1+√3√(-1)}/2]^2={-1-√3√(-1)}/2
となるためには
{√(-1)}^2=-1
となればよいので
√(-1)=i
または前の回答に追加ですが
-√(-1)=j
という記号で表します
exp(-iωt)=exp(jωt)
となります。

No.9 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/06/22 20:30

f(z)=√zは2価関数だから

√-1=±i
になります

√-1=i とも　√-1=-i　ともどちらとも定めることができないのです

z=re^(iθ) ,r≧0,0≦θ<2π　としたとき
√z=(√r)e^(iθ/2) と定義すると
√z は　z=1 で不連続になるのです
lim{θ→2π-0}e^(iθ)=1

lim{z→1-0i}√z
=lim{θ→2π-0}√(e^(iθ))=lim{θ→2π-0}e^(iθ/2)=-1≠1=√1

z=re^(iθ) ,r≧0,-π<θ≦π　としたとき
√z=(√r)e^(iθ/2) と定義すると
-1=e^(iπ) だから　√-1=e^(iπ/2)=i となるけれども
√z は　z=-1 で不連続になるのです
lim{θ→-π+0}e^(iθ)=-1

lim{z→-1-0i}√z
=lim{θ→-π+0}√(e^(iθ))=lim{θ→-π+0}e^(iθ/2)=-i≠i=√-1

f(z)=√z　を　1価関数として定めると　必ず不連続になるから
f(z)=√z　を　1価関数として定めることができないのです

この回答へのお礼

√　を関数とみれば、2価関数となる。
だから、√(-1) = ±i である、という事でしょうか。

√(-1) = i　は、計算のために、便宜的に選んだ値で、
別に√(-1)　= -iにしても良い、といった感じでしょうか。

お礼日時：2024/06/23 21:12