No.17ベストアンサー
- 回答日時:
←補足 06/30 20:37
複素√ を多価関数として √-1 = ±i で扱うにせよ、
一価になるよう枝選択をして √-1 = i または √-1 = -i で扱うにせよ、
√-1 の意味をどのように決めたかを明記してから使う必要がある
ということです。 実√ が、広く正値と合意されているのと違って、
複素√ の扱いは、文献により様々です。各文脈で合意をとる必要がある。
複素√ の事情がよく解っていない人の中には
不用意に √-1 = i としてしまう人も多いし、
やりかたによってはそれでもかまわないのですが、
その延長に、説明なしで √-2 = (√2)i が続いてしまうようでは
No.15 に書いたようにちょっとマズいのです。
³√-1 = -1 は、その話とは少し違うかな。
実数 x の有理数 p/q 乗 x^(p/q) については、
y = x^(p/q) ⇔ y^q = x^p によって x < 0 の範囲まで
定義域が広げられる場合もあるのです。
p/q の既約分母 q が奇数であれば、問題なく x < 0 まで拡張できます。
p/q = 1/3 の場合も、そのひとつです。
この扱いが広く認められているか否かを詰められると
ちょっと怪しい感もあるのですが、
少なくとも、 √-1 = i よりは普及した考え方だろうと思います。
No.18
- 回答日時:
補足日時:2024/06/30 20:37について
³√(-1) = -1 も同様ではありません
3乗して -1 になる実数は -1 しかないのです
だから(実数の範囲に限定すれば)
³√(-1) = -1
は 1つに決まるのです
No.16
- 回答日時:
正の実数a>0 に対して
√a=a^(1/2) は、aの平方根のうち、正の方と定義されるのには理由があるのです
(√)という演算は正の実数の集合(R+)の中で閉じているから
√(√a)={a^(1/2)}^(1/2)=a^(1/4)
(√)演算を何回繰り返しても正の実数となるから
√a=a^(1/2) は、aの平方根のうち、正の方と定義されるのです
ところが
√-1 の場合は
√-1=i
と
√-1=-i
の
どちらを定義しても
虚数となって(√)という演算は実数の範囲で閉じてはいないのです
どちらも複素数平面上では不連続になるのです
従って
√-1=i と定義することも
√-1=-i と定義することもありません
複素数平面C上では(√)は2価関数となるのです
w=√zは2価関数だから,これをもっと扱い易くするため,
リーマン面というものを考える
C=(複素数平面)を2枚用意し
これをC1,C2 とする
C1:0≦θ≦2π
C2:(-2π=)2π≦θ≦4π(=0)
とする
実軸上でrが等しく,θ=2πの点同志をを同一点とみなし
またθ=0の点とθ=4πの点とを同一点とみなすことによって
1つの新しい面(Ri)ができる
この(Ri)をw=√zのリーマン面という
このとき
w=√zは(Ri)上の1価関数である
多価関数とリーマン面
https://ieyasu03.web.fc2.com/PhysicsMath/37_Riem …
No.15
- 回答日時:
x > 0 で定義される実√ 関数 √x と
x > 0 の範囲では一致するような
複素数全域で正則な関数は存在しません。
そこで、複素√関数を定義するにあたって
それを「多価関数」だとする方法もありますが、
「関数」というか「写像」の定義は一価性なので、
なんだかおかしな話でもあります。
別の方法として、x > 0 の範囲では実√と一致する
一価正則な複素関数を考えると、正則性を保ったまま
定義域を複素数全体まで広げることはできない
...と捉えることもできます。
このとき、複素√が正則でなくなる定義域の縁は
原点と無限遠点を結ぶ曲線ならなんでもよく、
偏角一定の半直線である必要はない。
定義域の縁が -1 と -2 を結ぶ線分を横切るようなもの
であったとすれば、先に述べたように
√-2 = (-√2)√-1 になることもあるわけです。
No.14
- 回答日時:
z=re^(iθ) ,(r≧0)のとき
√z=(√r)e^(iθ/2)
r=1
θ=0 のとき √1=1
θをθ=0から連続的に増加してθ=π にすると
z=e^(iπ)=-1
√-1=e^(iπ/2)=i
θをθ=0から連続的に減少してθ=-π にすると
z=e^(-iπ)=-1
√-1=e^(-iπ/2)=-i
だから
√-1=i
と
√-1=-i
の
どちらかに決めることができないのです
だから
√(-1) = ±i
なのです
No.13
- 回答日時:
f(z)=√z を 1価関数として定めると 必ず不連続になるから
f(z)=√z を 1価関数として定めることができないから
√(-1) = ±i
なのです
計算のためにであっても
√(-1) = i
とする必要はないし
√(-1) = -i
とする必要もないのです
√(-1)ならば、演算結果は、-iは除外して、iだけ。
√(-2i)なら、結果が±(1-i)の2つになるのは
不合理なのです
No.12
- 回答日時:
Riをw=√zのリーマン面とする
Ri∋z=re^(iθ) ,(r≧0)のとき
√z=(√r)e^(iθ/2)
になるのです
-1=e^(iπ) のとき
√-1=e^(iπ/2)=i
-1=e^(-iπ) のとき
√-1=e^(-iπ/2)=-i
-2i=2e^(3πi/2) のとき
√(-2i)=(√2)e^(3πi/4)=1-i
-2i=2e^(-iπ/2) のとき
√(-2i)=(√2)e^(-iπ/4)=i-1
になります
No.11
- 回答日時:
たぶんなんですが。
x,aは実数、nは1以上の整数とすると。
x^n = a の解は(重解、複素数解を含めて) n個存在するけど、y = n√a (aのn乗根)と書いたときには、yが一意に定まるようにしたい。できれば「自然」な感じに。
という思いがあって
n=2 のときは √a≧0 とするのが「自然」と考える人が多かったからそう定義したのではないかと。
※ √a を負の値と定義すると
x^2 = 4 (ただしx>0)
のとき
x = - √4 (√4は負だから、xに合わせるには-√4になる)
x = - (-2)
x = 2
と、なんとも「不自然」な計算になる。
nが奇数のときは、 f(x) = x^n の逆関数として定義するのが「自然」です。
その流れで√(-1) を一意に決めるなら 負の符号が付かない i とするのが「自然」だろうということ。
>√(-1) を一意に決めるなら 負の符号が付かない i とするのが「自然」
まあ、決めた経緯はそんなところなんだろうと思います。
ただ、√の中身が複素数とか複雑になってきたら、もう決めようがないですよね。
No.10
- 回答日時:
z^3-1=0の解は
z=1,{-1+√3√(-1)}/2,{-1-√3√(-1)}/2
です。
{-1+√3√(-1)}/2+{-1-√3√(-1)}/2+1=0
[{-1+√3√(-1)}/2]^2={-1-√3√(-1)}/2
となるためには
{√(-1)}^2=-1
となればよいので
√(-1)=i
または前の回答に追加ですが
-√(-1)=j
という記号で表します
exp(-iωt)=exp(jωt)
となります。
No.9
- 回答日時:
f(z)=√zは2価関数だから
√-1=±i
になります
√-1=i とも √-1=-i ともどちらとも定めることができないのです
z=re^(iθ) ,r≧0,0≦θ<2π としたとき
√z=(√r)e^(iθ/2) と定義すると
√z は z=1 で不連続になるのです
lim{θ→2π-0}e^(iθ)=1
lim{z→1-0i}√z
=lim{θ→2π-0}√(e^(iθ))=lim{θ→2π-0}e^(iθ/2)=-1≠1=√1
z=re^(iθ) ,r≧0,-π<θ≦π としたとき
√z=(√r)e^(iθ/2) と定義すると
-1=e^(iπ) だから √-1=e^(iπ/2)=i となるけれども
√z は z=-1 で不連続になるのです
lim{θ→-π+0}e^(iθ)=-1
lim{z→-1-0i}√z
=lim{θ→-π+0}√(e^(iθ))=lim{θ→-π+0}e^(iθ/2)=-i≠i=√-1
f(z)=√z を 1価関数として定めると 必ず不連続になるから
f(z)=√z を 1価関数として定めることができないのです
√ を関数とみれば、2価関数となる。
だから、√(-1) = ±i である、という事でしょうか。
√(-1) = i は、計算のために、便宜的に選んだ値で、
別に√(-1) = -iにしても良い、といった感じでしょうか。
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要するにですね、√1 は、1の平方根のうち、正の方と定義されるので、-1ではなく1になると。
では√-1が、-iではなく、iなのは、どういう定義かという意味です。
正でも負でもないのに。
√-1は、-1の平方根で、-符号がついていない方、という定義でしょうか。
ならば√-2i はどうなります? 1-i それとも i-1 でしょうか。
√a は、aが正の実数であるときだけ、1つに決まるのであって、
aが負の場合は、そうはならない。
で、√(-1) = ±i とするかどうかはともかく、
√(-1) = i は、広く認められた考えではない。
³√(-1) = -1 も同様、といった事でよいでしょうか。
訂正します。
³√(-1) = -1 は大丈夫、
n√a ならば、aが負の実数であっても、nが奇数なら一つに決まると。
ともかく元の質問である √-1 = i は、 広く認められてはいないという事で、
多分、理解できたと思います。ありがとうございました。