√-1 は、何になるのでしょうか

タイトルの通りです。
√-1　= i でしょうか？
でも、-iやiは、正でも負でもないですよね。

質問者からの補足コメント

• 要するにですね、√1　は、1の平方根のうち、正の方と定義されるので、-1ではなく1になると。
  では√-1が、-iではなく、iなのは、どういう定義かという意味です。
  正でも負でもないのに。
  √-1は、-1の平方根で、-符号がついていない方、という定義でしょうか。
  ならば√-2i　はどうなります？　1-i それとも　i-1　でしょうか。

    補足日時：2024/06/22 13:38

No.16 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/06/26 06:18

正の実数a>0 に対して

√a=a^(1/2)　は、aの平方根のうち、正の方と定義されるのには理由があるのです

(√)という演算は正の実数の集合(R+)の中で閉じているから

√(√a)={a^(1/2)}^(1/2)=a^(1/4)

(√)演算を何回繰り返しても正の実数となるから

√a=a^(1/2)　は、aの平方根のうち、正の方と定義されるのです


ところが

√-1 の場合は

√-1=i
と
√-1=-i
の
どちらを定義しても
虚数となって(√)という演算は実数の範囲で閉じてはいないのです
どちらも複素数平面上では不連続になるのです
従って
√-1=i　と定義することも
√-1=-i　と定義することもありません

複素数平面C上では(√)は2価関数となるのです

w=√zは2価関数だから,これをもっと扱い易くするため,
リーマン面というものを考える
C=(複素数平面)を2枚用意し
これをC1,C2 とする
C1:0≦θ≦2π
C2:(-2π=)2π≦θ≦4π(=0)
とする
実軸上でrが等しく,θ=2πの点同志をを同一点とみなし
またθ=0の点とθ=4πの点とを同一点とみなすことによって
1つの新しい面(Ri)ができる
この(Ri)をw=√zのリーマン面という
このとき
w=√zは(Ri)上の1価関数である

多価関数とリーマン面

https://ieyasu03.web.fc2.com/PhysicsMath/37_Riem …

No.15 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/06/24 09:07

x > 0 で定義される実√ 関数 √x と

x > 0 の範囲では一致するような
複素数全域で正則な関数は存在しません。

そこで、複素√関数を定義するにあたって
それを「多価関数」だとする方法もありますが、
「関数」というか「写像」の定義は一価性なので、
なんだかおかしな話でもあります。

別の方法として、x > 0 の範囲では実√と一致する
一価正則な複素関数を考えると、正則性を保ったまま
定義域を複素数全体まで広げることはできない
...と捉えることもできます。

このとき、複素√が正則でなくなる定義域の縁は
原点と無限遠点を結ぶ曲線ならなんでもよく、
偏角一定の半直線である必要はない。

定義域の縁が -1 と -2 を結ぶ線分を横切るようなもの
であったとすれば、先に述べたように
√-2 = (-√2)√-1 になることもあるわけです。

No.14 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/06/24 06:00

z=re^(iθ) ,(r≧0)のとき

√z=(√r)e^(iθ/2)

r=1
θ=0 のとき　√1=1

θをθ=0から連続的に増加してθ=π　にすると
z=e^(iπ)=-1
√-1=e^(iπ/2)=i

θをθ=0から連続的に減少してθ=-π　にすると
z=e^(-iπ)=-1
√-1=e^(-iπ/2)=-i

だから

√-1=i
と
√-1=-i
の
どちらかに決めることができないのです
だから

√(-1) = ±i

なのです

No.13 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/06/23 21:45

f(z)=√z　を　1価関数として定めると　必ず不連続になるから

f(z)=√z　を　1価関数として定めることができないから

√(-1) = ±i

なのです

計算のためにであっても

√(-1) = i　

とする必要はないし

√(-1) = -i　

とする必要もないのです

√(-1)ならば、演算結果は、-iは除外して、iだけ。
√(-2i)なら、結果が±(1-i)の2つになるのは
不合理なのです

No.12 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/06/23 16:46

Riをw=√zのリーマン面とする

Ri∋z=re^(iθ) ,(r≧0)のとき

√z=(√r)e^(iθ/2)

になるのです

-1=e^(iπ) のとき
√-1=e^(iπ/2)=i

-1=e^(-iπ) のとき
√-1=e^(-iπ/2)=-i

-2i=2e^(3πi/2) のとき
√(-2i)=(√2)e^(3πi/4)=1-i

-2i=2e^(-iπ/2) のとき
√(-2i)=(√2)e^(-iπ/4)=i-1

になります

No.11 回答者： kmee 回答日時： 2024/06/23 11:33

たぶんなんですが。

x,aは実数、nは1以上の整数とすると。
x^n = a の解は(重解、複素数解を含めて) n個存在するけど、y = n√a (aのn乗根)と書いたときには、yが一意に定まるようにしたい。できれば「自然」な感じに。
という思いがあって
n=2 のときは √a≧0 とするのが「自然」と考える人が多かったからそう定義したのではないかと。

※ √a を負の値と定義すると
x^2 = 4 (ただしx>0)
のとき
x = - √4 (√4は負だから、xに合わせるには-√4になる)
x = - (-2)
x = 2
と、なんとも「不自然」な計算になる。

nが奇数のときは、 f(x) = x^n の逆関数として定義するのが「自然」です。


その流れで√(-1) を一意に決めるなら 負の符号が付かない i とするのが「自然」だろうということ。

この回答へのお礼

＞√(-1) を一意に決めるなら 負の符号が付かない i とするのが「自然」

まあ、決めた経緯はそんなところなんだろうと思います。
ただ、√の中身が複素数とか複雑になってきたら、もう決めようがないですよね。

お礼日時：2024/06/23 21:32

No.10 回答者： sorewasennsei 回答日時： 2024/06/23 10:40

z^3-1=0の解は

z=1,{-1+√3√(-1)}/2,{-1-√3√(-1)}/2
です。
{-1+√3√(-1)}/2+{-1-√3√(-1)}/2+1=0
[{-1+√3√(-1)}/2]^2={-1-√3√(-1)}/2
となるためには
{√(-1)}^2=-1
となればよいので
√(-1)=i
または前の回答に追加ですが
-√(-1)=j
という記号で表します
exp(-iωt)=exp(jωt)
となります。

No.9 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/06/22 20:30

f(z)=√zは2価関数だから

√-1=±i
になります

√-1=i とも　√-1=-i　ともどちらとも定めることができないのです

z=re^(iθ) ,r≧0,0≦θ<2π　としたとき
√z=(√r)e^(iθ/2) と定義すると
√z は　z=1 で不連続になるのです
lim{θ→2π-0}e^(iθ)=1

lim{z→1-0i}√z
=lim{θ→2π-0}√(e^(iθ))=lim{θ→2π-0}e^(iθ/2)=-1≠1=√1

z=re^(iθ) ,r≧0,-π<θ≦π　としたとき
√z=(√r)e^(iθ/2) と定義すると
-1=e^(iπ) だから　√-1=e^(iπ/2)=i となるけれども
√z は　z=-1 で不連続になるのです
lim{θ→-π+0}e^(iθ)=-1

lim{z→-1-0i}√z
=lim{θ→-π+0}√(e^(iθ))=lim{θ→-π+0}e^(iθ/2)=-i≠i=√-1

f(z)=√z　を　1価関数として定めると　必ず不連続になるから
f(z)=√z　を　1価関数として定めることができないのです

この回答へのお礼

√　を関数とみれば、2価関数となる。
だから、√(-1) = ±i である、という事でしょうか。

√(-1) = i　は、計算のために、便宜的に選んだ値で、
別に√(-1)　= -iにしても良い、といった感じでしょうか。

お礼日時：2024/06/23 21:12

No.8 回答者： e12mv2 回答日時： 2024/06/22 18:55

理を詰めてもしょうがないな。

証明できないことを定めたのが「定義」なのである。
物理でいう「法則」とか「原理」とかいうのと同じである。

たとえば「なぜ三つの辺で囲まれた形を『三角形』というのですか？」と問うても意味がない。
「三つの辺で囲まれた形を三角形という」と定義したのは人間だからである。

ｉも同じである。
「二乗すると-１になる」
そう定義されたのがｉである。

なお、ｉを含む複素数を直感的に理解するにはガウスの複素平面の助けを必要とする。
この平面を見れば、正とか負とかの実数はガウス平面の実数軸上にしか存在しないことが見て取れる。

この平面上で虚数軸が実数軸と直行するには訳があるが、質問と関係ないので省く。

この回答へのお礼

「二乗すると-１になる」ものをi と定義したとして、
-i 　を二乗しても　-１　になる、というが質問の発端なわけです。
定義といえば、定義なのだと思いますが、いったい何を定義しているのだろうかという疑問でした。

お礼日時：2024/06/23 21:15

No.7 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/06/22 18:38

ほら、ここにも

√(-2) = (√2)i のひとがわいてる。

そうじゃないんだよ...
という話は、No.3 に書いたとおり。

この回答へのお礼

どうもすみません。理解不足で。
元々は、√(-2) = (√2)i の根拠は何？それは定義？という話だったんです。

お礼日時：2024/06/22 18:59