√-1 は、何になるのでしょうか

タイトルの通りです。
√-1　= i でしょうか？
でも、-iやiは、正でも負でもないですよね。

質問者からの補足コメント

• 要するにですね、√1　は、1の平方根のうち、正の方と定義されるので、-1ではなく1になると。
  では√-1が、-iではなく、iなのは、どういう定義かという意味です。
  正でも負でもないのに。
  √-1は、-1の平方根で、-符号がついていない方、という定義でしょうか。
  ならば√-2i　はどうなります？　1-i それとも　i-1　でしょうか。

    補足日時：2024/06/22 13:38

• √a　は、aが正の実数であるときだけ、1つに決まるのであって、
  aが負の場合は、そうはならない。
  で、√(-1) = ±i とするかどうかはともかく、
  √(-1) = i　は、広く認められた考えではない。
  ³√(-1) = -1 も同様、といった事でよいでしょうか。

    補足日時：2024/06/30 20:37

• 訂正します。
  ³√(-1) = -1 は大丈夫、
  n√a　ならば、aが負の実数であっても、nが奇数なら一つに決まると。
  ともかく元の質問である　√-1　= i　は、 広く認められてはいないという事で、
  多分、理解できたと思います。ありがとうございました。

    補足日時：2024/07/02 22:26

No.8 回答者： e12mv2 回答日時： 2024/06/22 18:55

理を詰めてもしょうがないな。

証明できないことを定めたのが「定義」なのである。
物理でいう「法則」とか「原理」とかいうのと同じである。

たとえば「なぜ三つの辺で囲まれた形を『三角形』というのですか？」と問うても意味がない。
「三つの辺で囲まれた形を三角形という」と定義したのは人間だからである。

ｉも同じである。
「二乗すると-１になる」
そう定義されたのがｉである。

なお、ｉを含む複素数を直感的に理解するにはガウスの複素平面の助けを必要とする。
この平面を見れば、正とか負とかの実数はガウス平面の実数軸上にしか存在しないことが見て取れる。

この平面上で虚数軸が実数軸と直行するには訳があるが、質問と関係ないので省く。

この回答へのお礼

「二乗すると-１になる」ものをi と定義したとして、
-i 　を二乗しても　-１　になる、というが質問の発端なわけです。
定義といえば、定義なのだと思いますが、いったい何を定義しているのだろうかという疑問でした。

お礼日時：2024/06/23 21:15

No.7 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/06/22 18:38

ほら、ここにも

√(-2) = (√2)i のひとがわいてる。

そうじゃないんだよ...
という話は、No.3 に書いたとおり。

この回答へのお礼

どうもすみません。理解不足で。
元々は、√(-2) = (√2)i の根拠は何？それは定義？という話だったんです。

お礼日時：2024/06/22 18:59

No.6 回答者： ご意見をお願いします。 回答日時： 2024/06/22 15:44

補足拝見致しました。

>√-1は、-1の平方根で、-符号がついていない方、という定義でしょうか。
はい、おっしゃるとおりです。実数の範囲で考えると、√aは、aの平方根のうち正の方（0より大きい方）のことですが、虚数は単純に実数と大きさを比べることはできませんので、形式で判断することになるかと思います。

>ならば√-2i　はどうなります？
ひょっとして√(-2)のことでしょうか。
√(-2)＝√(-1×2)=√(-1)×√(2)＝i×√(2)＝√(2)i
となるはずです。
※どこまで根号がかかるのかを明確にするために冗長な()をつけています。

因みに､､､
√(-2i)=√(-1×2×i)＝√(-1)×√(2)×√(i)=i×√(2)×(±(1+i)/√(2))=±i+iの二乗=±i-1=-1±i
となるでしょう。
※√(i)＝±(1+i)/√(2)です。計算過程は省略します。

この回答へのお礼

√-2i　は、√(-2i)のつもりでした。
で、√(-2i)　は、
=i×√(2)×(±(1+i)/√(2))
=±(i-1)　なので、
-1±iではなく、1-i　または-1+i　になると思います。

要するに、√(-1)ならば、演算結果は、-iは除外して、iだけ。
しかし√(-2i)なら、結果が２つになるのか？
それはどういう定義なんだろうか、という疑問だった訳です。

お礼日時：2024/06/22 16:48

No.5 回答者： han-ka-2 回答日時： 2024/06/22 14:48

浜村渚の計算ノート（青柳碧人著）から引用します。

　1x(-1)=-1 でしょうか。では -1x(-1) は何でしょ。これを数直線上で正負の概念だけで考えたらいけないんだそうです。複素平面（縦軸が虚軸，横軸が実軸）を考えて，-1x という作用は，反時計まわりに180度回転する作用と捉えるんだそうです。だから 1 を反時計まわりに180度回転したら -1，-1　に (-1) を掛けるということは反時計回りに180度回転するから 1 になるってわけ。で，i=√-1 は反時計回りに90度回転するという作用なんだそうだ。だから 1xi は，１から90度反時計回りに回転させたもの，つまり虚軸の +i にいきつくわけ。それに -1 を掛け算したら，i を反時計回りに180度回転するから虚軸の下側の -i に一致するというわけ。これが複素数の正負を捉えるときの考え方なんだそうだ。オイラーの公式 e^{i π}+1=0 は御存じですよね。数学で重要な五つの量 0, 1, i, e, π に関係があるという素晴らしい公式です。あるいは e^{±iθ}=cos θ ± i sin θ を知っていれば，上の回転させるという意味が明確になります。

この回答へのお礼

回答ありがとうございました。
ただ、今回の質問は、複素数のかけ算ルールではなく、√(-1) = i 　(-iではなく)　という、規則についても疑問でした。

お礼日時：2024/06/22 17:54

No.4 回答者： kairou 回答日時： 2024/06/22 14:46

＞√-1が、-iではなく、iなのは、どういう定義か

√(-1)=i と決めたのです。
で 計算の都合上 -√(-1)=-i とした方が 都合がよい と言う事です。
実数の様に 正負を 決めている訳ではないです。
虚数は 存在しない 数の概念ですから、
不都合が 生じなければ どちらでも良いでしょう。
（多分 慣例で 書き方が決まっていると思いますが。）

この回答へのお礼

＞√(-1)=i と決めたのです。

その通りだと思います。
ただ、どう決められてるのか、疑問に思ったわけです。
演算結果が純虚数なら良いけれど、複素数になったらどうするのだろうか、とか。
√　は正の実数、又はマイナスのついていない純虚数にするけれど、³√　は、マイナスもあり？とか。

お礼日時：2024/06/22 17:24

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/06/22 13:42

z^2 = -1 を満たす複素数 z はふたつあります。

z = ±√-1 といっても z = ±i といってもよいのですが、
±√2 などとは違って、虚数には正負の区別がないので、
どちらが +√-1 でどちらが -√-1 なのか
どちらが +i でどちらが -i なのかを区別するのは困難です。

z = +i じゃないほうのもうひとつの解が z = -i で、
+i と -i の間には (+i) + (-i) = 0 の関係がある
ところまでは確かなんですけど...
では、ふたつの解のうちのどっちが i なんだ？ といわれると、
どうにも答えようがありません。

例えば、z^2 = -1 の解のひとつに i と名前を付けて、
更に j = -i と置いたとすると、
実数と i を使って書いた複素数の計算と
実数と j を使って書いた複素数の計算は
まるでそっくりに見えます。

このことを複素数の自己共役性といいますが、
これがあるために、あなたが √-1 と書いて意図したものが
上記の i なのか j なのかを区別する方法が無いのです。

ともかく、ひとつ i というものがあって、それとの相対的な関係で
複素数は把握せざるを得ない。そういうもんだと思ってください。

たまに、頑なに √-1 = i だとか、正数 a について √-a = i√a だとか
信じ込んでる人がいて、説明しても話が通じないのですが、
そういうバカ話って、高校の教科書あたりが吹き込んでいるんでしょうか？

この回答へのお礼

＞高校の教科書あたりが吹き込んでいるんでしょうか？
そうですね。この部分、高校の頃に引っかかって、モヤモヤしたまま放置してきました。

√1　は、1の平方根のうち、正の方と定義されてるので、√1 = 1 になると、
では、³√(-1) = -1 　はどうなるのか？
偶数乗根は、正だけだが、
奇数乗根は、負もあり、とか？

と、色々考えてしまった次第です。

お礼日時：2024/06/22 17:10

No.2 回答者： angkor_h 回答日時： 2024/06/22 12:41

> √-1　= i でしょうか？

はい、その通りです。
但し、電気系では「j」が使われます。

> -iやiは、正でも負でもないですよね。
「i」は虚数であり、実数の正負とは一致しませんが、
虚数として見れば、正と負があり、加減算ができます。

No.1 回答者： ご意見をお願いします。 回答日時： 2024/06/22 12:16

>√-1　= i でしょうか？

おっしゃる通りです。

>-iやiは、正でも負でもないですよね。
これもまた、おっしゃる通りです。
ただし、0<i、-i<0ではありません。
iは虚数（実際には存在しない概念上の数）ですから、数直線上などに表すことはできません。しかし、もし数直線上などに表せたとしたら、iと-iは0を挟んで対称の位置にあるはずです。それぞれの具体的な位置はわからないが、位置関係だけはわかる、と言った状態なのです。