対角線論法の疑問

対角線論法はよくご存じの方も多いと思いますが、理解している限りで、簡単に説明させてもらいます。

『便宜上［０，１］の区間内にあるすべての実数に自然数を対応させたリストがあるとする。
例：１⇔0.A₁₁A₁₂…、２⇔0.A₂₁A₂₂…、…、ｍ=0.Aⅿ₁Am₂…、…
因みに、ⅿ番目の小数点以下ⅿ桁目の数字はAｍｍと表されることになる。ここで、次の性質を持つ数Ｂを考える。B＝0.B₁B₂…とすると、Ｂ₁≠A₁₁、Ｂ₂≠A₂₂、…、Ｂｍ≠Aｍｍ、…
では、このＢは上記の対応リストのどこにあるだろうか？答えは「ない」。仮に、Ｂがｎ番目の数、つまり、Ｂ＝0.An₁An₂…だったとすると、Ｂnn=Annとなるはずだが、Ｂの性質上、Ann≠Ｂnnも同時に成り立たねばならないから、Ｂnn≠Ｂnnとなってしまう。このような数はありえないというか定義不能となるから、当然、対応リストにもないことになる。いま、［０，１］区間内の全ての実数が自然数との対応リストに載っているとしたのに、リストにない数Ｂがあることになるから、仮定が間違っていた、つまり自然数は実数に対応しきれない、実数の方が濃度が高いということになる。』

しかし、ここで疑問が出るのです。上記論法で出現したＢなる数を本当に実在する数としてよいのか？
ということなのです。Ｂの性質を満たす”数”を数として認め、実数の一つとしても、矛盾が生じないことは確かめられているのでしょうか？本当に、実数の中には、Ｂのごとき性質を満たす数が含まれているのか？√2など代数的無理数は可算集合で自然数と一対一対応できるということですが、πやeなど超越数は非可算集合でしょうから、Ｂのような性質を持つ数も超越数の一つとなるでしょう。が、本当に、超越数の中には、Ｂのごとき性質を持つ数があるのか？確かに、Ｂの構成方法というか、性質には、矛盾する点は見付けられないし、可能なことは自明にも思えますが、見付けられないとか、思えるでは厳密には保証されていることにならないでしょう。それとも、きちんとした保証があるのでしょうか？こちらが知らないだけで、チャンと数学を勉強すれば、それを学べるので、単に勉強不足なだけだと。
それとも、Ｂを数として扱って矛盾のないように整備されてきたのが現在の数学の公理体系ということなのでしょうか？もしそうだとすると、自然数より実数の方が濃度が高いということは、証明されることというより、そういう数として実数を定義し、それで矛盾のないように体系を整えてきたという方がより正確だと思えるのですが…。
順序立てて勉強すれば分かることかもしれませんが、ちょっとだけズルさせてもらって、この場を借りて疑問を提示した次第です。

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/11/29 08:54

小数表記の全てが何らかの実数を表していることは、

高校程度の収束概念でも自明だけれど...

ちょっとだけ引っかかるのは、1=0.9999… 問題。
小数表記のほうが実数よりも多いことかな。
これは、リストに現れる小数を
末尾が 0000… になる場合は 9999… 型のほうに統一しておいて、
B も 0000… 型でないように構成できる
と言えば済む話ではあるけれども。

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/11/25 21:24

有理数コーシー列の同値類による実数の定義)

Q=(全有理数の集合)
有理数の数列
{a(n)}
に対して
任意の有理数ε>0に対して
ある自然数n_0が存在して
m,n>n_0となる任意の自然数m,nに対して
|a(m)-a(n)|<ε
となるとき
{a(n)}はコーシー列という

X=(全有理数のコーシー列の集合)
とする

{a(n)}∈X
{b(n)}∈X
に対して
任意の有理数ε>0に対して
ある自然数n_0が存在して
n>n_0となる任意の自然数nに対して
|a(n)-b(n)|<ε
となるとき
{a(n)}と{b(n)}は同値
{a(n)}～{b(n)}
であるという
同値関係～を定める
Xの同値類の集合
R=X/～
を(全実数の集合)と定義する

{a1(n)}～{a2(n)}
{b1(n)}～{b2(n)}
ならば
{a1(n)+b1(n)}～{a2(n)+b2(n)}
{a1(n)b1(n)}～{a2(n)b2(n)}
だから

[{a(n)}]∈R=X/～
と
[{b(n)}]∈R=X/～
の
和(+)を
[{a(n)}]+[{b(n)}]=[{a(n)+b(n)}]
と
定義でき
積(*)を
[{a(n)}]*[{b(n)}]=[{a(n)b(n)}]
と
定義できる

[{a(n)}]∈R=X/～
と
[{b(n)}]∈R=X/～
に対して
任意の有理数ε>0に対して
ある自然数n_0が存在して
n>n_0となる任意の自然数nに対して
a_n-b_n<ε
となるとき
[{a(n)}]≦[{b(n)}]
と
順序(≦)を定義できる

和(+)積(*)順序(≦)によって
R=X/～は(全)順序体になる

有理数r∈Qとすべての項がrである定数列の同値類を同一視すると
r=[{r}]∈R=X/～
Q⊂R
となる
[{a(n)}]∈R=X/～
に対して
lim_{n→∞}a(n)=[{a(n)}]
となる

Amm≦4のときBm=8
Amm≧5のときBm=1
と
数列{Bm}を定義し

B=0.B₁B₂…
=Σ_{k=1～∞}B_k/10^k
とすると

1≦B_k≦8

s_n=Σ_{k=1～n}B_k/10^k
と
有理数列{s_n}を定義すると

任意の有理数ε>0に対して
n_0>1/εとなる自然数n_0がある
m>n>n_0となる任意の自然数m,nに対して
10^n>n>n_0>1/ε
だから
|s_m-s_n|=Σ_{k=n+1～m}B_k/10^k<1/10^n<ε
だから

{s_n}は有理数のコーシー列だから

[{s_n}]∈R=X/～ が存在して

{s_n}は
実数
[{s_n}]
B=0.B₁B₂…
=Σ_{k=1～∞}B_k/10^k
に収束する

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。返事として的外れかもしれませんが、定理と公理とは同じカードの表裏みたいなもので、見方を変えればひっくり返るものと思います。対角線論法からは証明される定理のようなものでも、逆にBを含み得るように実数を定義したと観ることも必ずしも不合理ではないと感じます。時代から言えば、コーシーの方が先なので、恐らくですが、カント―ルはコーシーの実数の定義に対しても合理的であるから、ここで表記した数Bを設定することができたのかも知れませんね。

お礼日時：2023/11/26 15:34

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/11/23 16:13

Amm≦4のときBm=8

Amm≧5のときBm=1
と
数列{Bm}を定義し

B=0.B₁B₂…
=Σ_{k=1～∞}B_k/10^k
とすると

1≦B_k≦8

s_n=Σ_{k=1～n}B_k/10^k
と
数列{s_n}を定義すると

0
≦s_n
=Σ_{k=1～n}B_k/10^k
≦Σ_{k=1～n}8/10^k
=(8/10)Σ_{k=1～n}1/10^(k-1)
<(8/10)Σ_{k=1～∞}1/10^(k-1)
=(8/10)/(1-1/10)
=8/9
<1
だから

数列{s_n}は上に有界

s_{n+1}-s_n=B_{n+1}/10^{n+1}>0
s_n<s_{n+1}
だから

数列{s_n}は上に有界な実数の単調増加数列だから
(実数の定義(コーシー列の同値類または切断)から導かれた定理により)
実数
B=0.B₁B₂…
=Σ_{k=1～∞}B_k/10^k
に収束する

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2023/11/23 15:08

Dedekind の切断を考えればいいんじゃね?

なお「Ｂのような性質を持つ数も超越数の一つとなるでしょう。」についてはあなたの勘違い. 「必ず超越数になる」とはいえない.