実数同士の対応における対角線論法について

https://oshiete.goo.ne.jp/qa/13522547.html

1.すべての実数とすべての実数を1対1に対応させることができると仮定する
2.対角線論法により、対応表に存在しない実数が存在するから仮定は誤り

これだと実数同士間に全単射写像が存在しないことになって、実際には実数同士間に全単射写像が存在することと矛盾するから、この論理展開は間違ってますよね。とすると、

3.すべての自然数とすべての実数を1対1に対応させることができると仮定する
4.対角線論法により、対応表に存在しない実数が存在するから仮定は誤り

からも、「自然数と実数の間に全単射写像が存在しない」という結論を導くことはできないですよね。

と別のサイトで質問したら、「実数同士を対応させるときには対角線論法を適用できない」と言われたのですが、「対角線論法を適用できる」という、無限の個数の実数(あるいは非循環無限数列)の集合が持つ固有の性質が、実数同士を対応させるときに消失するのはなぜですか。

No.4 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/07/08 19:04

＞ 4.例えば対角線論法で作った0.222…という実数は

＞ この対応表に存在しないから仮定は誤り。

最初に表をどう作ったのかが書いてないから、証明のテイをなしてないが...

＞ 3.141592…→3.141592…
＞ 1.414213…→1.414213…
＞ 6.661922…→6.661922…

もし、全ての実数 x を →x に対応させたのならば、
0.222… は 0.222… に対応してるでしょ。
そうじゃないと言うのなら、どういう対応表を作ったのか説明せにゃ。

「対角線論法で作った」というのにも、
何をどうやって 0.222… を作ったのか説明が無い。
それじゃ証明にならんよ。

そもそも 1.2. で、全ての実数は自然数と一対一対応できない
ことが示されているんだから、表の → の左側を縦に見ていって
その中に存在しない実数は必ずある。

だから、「対角線論法で」
表の k 行目の → の右側の実数と小数第 k 位が一致しない
ような実数を構成して見せても、表は 実数→実数 の対応の
ほんの一部でしかないんだから、そこに出てきてない
他の実数があっても何の矛盾もないでしょ って話になる。

この回答へのお礼

＞最初に表をどう作ったのかが書いてないから、証明のテイをなしてないが...

NHK Eテレ『笑わない数学』他無数のコンテンツで、「実数の方が多い」ことの証明に

1→3.141592…
2→1.414213…
3→6.661922…
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・
・

という表が使われてますが、「証明のテイをなしてない」ということですか。任意でしか並べられないなら他に方法はないと思いますが。

＞「対角線論法で作った」というのにも、何をどうやって 0.222… を作ったのか説明が無い。それじゃ証明にならんよ。

それこの場で必要ですか。あなたが対角線論法を知らないなら必要でしたが。

＞もし、全ての実数 x を →x に対応させたのならば、

対角線論法に従えばそれができないという話をしてるのですが。それでいいなら「すべての実数をすべての自然数に1対1に対応させた」で済みます。

＞0.222… は 0.222… に対応してるでしょ。

つまり

0.222086…→　　　　　　　　←0.222086…
　　　　3.141592…→3.141592…
　　　　1.414213…→1.414213…
　　　　6.661922…→6.661922…
　　　　5.138924…→5.138924…
　　　　2.901877…→2.901877…
　　　　0.222555…→0.222555…
　　　　・
　　　　・
　　　　・

というように、対角線論法で作った(ちなみに対角線論法をご存じないようなので補足しますが0.222086…は元の表の一番目の実数の小数第一位からの対角線上の数字111975を一つずつずらして作りました)実数同士を対応させ続けるということですね。だからそれについてずっと、それでいいなら

1→　　　　　　　　←0.222086…
2→3.141592…
3→1.414213…
4→6.661922…
5→5.138924…
6→2.901877…
7→0.222555…
・
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・

というように、自然数とも対応させ続けられますと言っているのですが。「未対応の実数が残る」のはどちらも同じですよ。

お礼日時：2023/07/09 19:08

No.6 回答者： Tacosan 回答日時： 2023/07/08 20:47

今ふと気付いた.

最後にある
「「対角線論法を適用できる」という、無限の個数の実数(あるいは非循環無限数列)の集合が持つ固有の性質」
ってどういうことなんだろうか. 対角線論法を有限集合に適用する意味はない (「数を数えろ」で終わるから) けど, 無限集合であれば「実数の集合」に限らずどんなものでも適用できるんだ.

意味不明な思い込みのまま突き進んでいたりする?

この回答へのお礼

＞無限集合であれば「実数の集合」に限らずどんなものでも適用できるんだ.

ああ循環小数の無限集合にも適用できましたね。でも、自然数の無限集合に適用↓できたら「実数の方が多い」という結論にならないのでは。お互いに表にない元が存在するのだから。

…0001→3.141592…
…0002→1.414213…
…0003→6.661922…
・
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お礼日時：2023/07/09 19:09

No.5 回答者： ssawatake 回答日時： 2023/07/08 19:45

3.4.はokなんだけど、そこから「自然数と実数の間に全単射写像が存在しない」という結論を導くことはできない、と言う論法がおかしい。

3.4.が言ってるのは左(自然数)から右(実数)への全射が存在しないという事。
つまり、右に余りが出てしまう。
だったら、単射なんか存在しないでしょ？
だから、全単射は存在しないんですよ・・・・。
結論を導けるでしょ？なぜ出来ないんですか？？

実数のベキ集合は真に実数より濃度が濃い事を証明するのに、対角線論法のアイデアを駆使して証明していて、それも対角線論法と言ってます。

が、実数同士の対角線論法は無理なのでは？？
1:1対応が付いてしまうから。
1cmの線分内の点と宇宙空間全体の点の数が等しい事もカントールによって証明されてるんですから・・。

この回答へのお礼

No.4さんへの返信を参照してください。

お礼日時：2023/07/09 19:09

No.3 回答者： Tacosan 回答日時： 2023/07/08 19:00

2 の方, 「例えば対角線論法で作った0.222…という実数はこの対応表に存在しない」ことの証明を望む.

この回答へのお礼

対角線論法で作ったので…

お礼日時：2023/07/09 19:08

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/07/08 18:30

その 2. の証明を、具体的に書き出してごらんよ。

どこの行に誤りがあるか指摘するから。

この回答へのお礼

3.すべての自然数とすべての実数を1対1に対応させたと仮定した表↓

1→3.141592…
2→1.414213…
3→6.661922…
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4.例えば対角線論法で作った0.222…という実数はこの対応表に存在しないから仮定は誤り。

1.すべての実数とすべての実数を1対1に対応させたと仮定した表↓

3.141592…→3.141592…
1.414213…→1.414213…
6.661922…→6.661922…
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2.例えば対角線論法で作った0.222…という実数はこの対応表に存在しないから仮定は誤り。

お礼日時：2023/07/08 18:49

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2023/07/08 18:02

安心していいよ, 非可算でも対角線論法は適用できるから.

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

お礼日時：2023/07/08 18:06