分からない課題で困っています。 どなたか、教えてください。 変数多項式環R[x]からRに対して φ:

分からない課題で困っています。
どなたか、教えてください。

変数多項式環R[x]からRに対して
φ:R[x]→R(f(x)→f(2))
と写像φを定めると,このφは環の準同型写像となる.以下の問いに答えよ.
(1)φは全射となることを示せ.
(2)φを用いて,次の環の同型が成り立つことを証明せよ.
R[x]/(x-2)≒R
(3)イデアル(x-2)はR[x]の素イデアルであるか否かを,理由も含めて答えよ

No.1 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/07/06 17:02

あれ？ これもまた 削除→再投稿 なのかな。

最近非常に多いですね。 ネタの再利用なのでしょうが。

(1)
任意の実数 r に対して、 定数関数 r は R[x] の元です。
φ(r) = r なので、φ は全射です。

(2)
剰余定理より、 R[x] の任意の元 f(x) について
f(x) = (x-2)g(x) + f(2) となる R[x] 元 g(x) が存在します。
よって φ(f(x)) = f(2) ⇔ ∃g(x)∈R[x], f(x)〜f(2) なので、
φ は R[x]/(x-2) 上で well defined であり、
R への単射にもなっています。
φは、R[x]/(x-2) から R への全単射準同型なので、同型です。

(3)
(2) により、 R[x]/(x-2) は R と環同型であり、よって 体でもあります。
商環 R[x]/(x-2) が体なのだから、(x-2) は素イデアルです。

No.2 回答者： 確変 回答日時： 2022/07/10 06:46

Q&A サイトにおいて, 課題を他人に解かせるという神経が, どうしても理解できないのだが.

こちら ↓ の回答のほうがいい.
https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/questio …

まず, R が何であるかを, はっきりさせるべき.
実数体 ℝ のことか？
しかし, それなら (3) は「素イデアル」ではなく「極大イデアル」としそうなものだが.
それとも, "極大イデアルならば素イデアル" や "体ならば整域" ということを, 書かせたいのだろうか.

(2) は, (1) を活用すべき.
"φ が全射だから Imφ = R" を利用させることが, 出題の趣旨だと思われる.
よって, あとは Kerφ = (x - 2) であることを説明すればいい.

で,

φ はあくまで R[x] から R への写像であって, R[x]/(x - 2) から R への写像ではない.
また, "商環" という数学用語を "剰余環" の意味で使うのは, 危険である.
局所化を学んだことのある者なら, ここで商環という言葉を使うのは避けるだろう.

この回答へのお礼

ありがとうございました。
助かりました。

お礼日時：2022/07/14 05:51