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zを複素数とするとき、w=z^3により、z平面はw平面にどのように写像されるか。また、z=w^1/3のリーマン面を図示せよ。

 という問題で、前半部分を教科書で調べたところ、w=z^3の逆関数w^3=zを満足するwをzの関数として解いていくのですが、どうしてこのような手順で解くのか分かりません。
 また、後半部分は全く分からないので、どなたか教えてください。

A 回答 (1件)

前半)


z=x+iy=r*exp(iθ)(r≧0)
w=u+ivとおくと
w=z^3=r^3*exp(i3θ)
u=r^3*cos(3θ), v=r^3*sin(3θ)

∴u^2+v^2=r^6, v=u*tan(3θ)

z面での円群x^2+y^2=r^2(rはr≧0なる任意定数)はw面における
円群u^2+v^2=(r^3)^2に写像されます。
またz面での直線群y=(tanθ)x(θは任意の定数)はw面における
直線群v=u*tan(3θ)に写像されます。

後半)
>z=w^(1/3)のリーマン面を図示せよ。
リーマン面の立体図をここに図示するのは困難ですから
参考URLの色々な写像w=f(z)の図が載っています。最後の図がw=z^(1/3)の写像のリーマン面の立体図です。
(色々な他のリーマン面の図も併せてご覧いただくと役立つでしょう。)

参考URL:http://www.mathworks.co.jp/products/matlab/demos …
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Q初めての複素関数の勉強

w=1/zで表される、複素平面z=x+iyから、複素平面w=u+ivへの写像を考える。z平面上の直線x=a(a>0)のw平面上の写像を求めよ。

という問題です。

この問題を解くにあたり、初めて複素関数の勉強をしました。

本を借りてきて調べると、どうやら虚軸または実軸に接する円になる、
というところまでは分かったのですが、円の中心と半径がどのように
なるのかがよく分かりません。

この問題だと、円の中心と半径を求めろということだと思うのですが、
それでいいんですよね?

解き方を教えてください。
よろしくお願いしますm(_ _)m

Aベストアンサー

z=a+iy
w=u+iv
=1/z=1/(a+iy)=(a-iy)/(a^2+y^2)
u=a/(a^2+y^2)
v=-y/(a^2+y^2)
u^2+v^2=1/(a^2+y^2)=u/a
{u-(1/2a)}^2+v^2=(1/2a)^2
w平面上のw=u+ivの実部uと虚部vの間に円の方程式の関係あり、
x平面上のx=a(実部一定)の直線がw平面上では円に写像されると言うわけです。円の中心zo=1/(2a)+i(0)、半径1/(2a)の円ですね。

Qダイヤモンド格子の問題

ダイヤモンド格子の充填率がいくらやっても、求められません。答えは34%くらいと載っているのですが、求め方が分かりません。計算で求める方法を分かる方、解説しているサイトなどあったら教えてください。

Aベストアンサー

shinn418さんこんばんは。

早速ですが、体心立方格子や面心立方格子などの充填率はどのように求められるのかは知っていますか?私が持っている高校生で使われている資料集を見たところ書いていないようなのでヒントを含めて書いていきます。できたらshinn418さん自身が書店に行ったり図書館に行ったりして「結晶化学」の本を探して確認して下さいね。

まず充填率とは簡単にいうと「格子内にどのくらいの原子が含まれているのか」を表した「割合」ですよね。

そこで、原子は真球であるとすると、球の体積を求める公式が浮かんできます。すなわち、

4/3πr^3    …(1)

です(乗数を表すのに「^」を用いました)。次に、ダイヤモンド格子は立方体なので、一辺の長さをaとすると、格子の体積は

a^3      …(2)

そしてダイヤモンド格子を構成している炭素は12個なので、求める充填率は(1)(2)より

{(4/3πr^3)×12}×100÷a^3

となるわけです。ちなみにrは原子半径なので、この求め方はshinn418さん自身で導きましょう。

shinn418さんこんばんは。

早速ですが、体心立方格子や面心立方格子などの充填率はどのように求められるのかは知っていますか?私が持っている高校生で使われている資料集を見たところ書いていないようなのでヒントを含めて書いていきます。できたらshinn418さん自身が書店に行ったり図書館に行ったりして「結晶化学」の本を探して確認して下さいね。

まず充填率とは簡単にいうと「格子内にどのくらいの原子が含まれているのか」を表した「割合」ですよね。

そこで、原子は真球であるとすると、球の体積...続きを読む

Q複素積分 ∫[-∞→∞] (sinx)/x dxについて

∫[-∞→∞] (sinx)/x dx=π
について教科書の解説を見ても理解出来ないところがあったので教えてください。
手持ちの教科書では次のような流れで計算をしていました
F(z)=exp(iz)/zとおく
F(z)はz=0に1位の極を持つのでz=0を避けるような経路C(添付図)をとる … (1)
D2は半径εの半円弧である
F(z)はCで正則なので∫[C] F(z)dz = 0 … (A)
F(z)の経路C=R+U+L+D1+D2+D3においてR,U,Lでの積分は0(証明長くなるので省略)

また、D2での積分は
∫[D2] F(z) dz = ∫[D2] {F(z)-(1/z)} dz +∫[D2] (1/z) dz
と分けるとF(z)-(1/z)はz=0で正則なのでε→0のとき積分の値は0 … (2)
∫[D2] (1/z) dz は z=εexp(iθ)とおいて計算すると-πiになる
(A)でX,Y→∞ ε→0とすると
∫[-∞→∞] (exp(ix)/x dx - πi =0 …(B)
exp(ix)=cos(x)+isin(x)より、
∫[-∞→∞] (cosx)/x dx + i∫[-∞→∞] (sinx)/x dx = πi
両辺の虚部をとって
虚部をとって∫[-∞→∞] (sinx)/x dx=π
ここまでが教科書での解答の大まかな流れです
疑問点は以下のとおりです
A:(1)で0を避けた理由
B:(2)でF(z)=F(z)-(1/z)+(1/z)と分けたのはどこから来たのか
C:(2)でF(z)-(1/z)はz=0で正則とあるがz=0で1/zは定義できないのに正則?
D:D1とD3は回答中で触れてないが無視していいのか
E:この問題はタイトルの積分を留数定理で解けという問題だったのですが留数定理使ってないような?

長くなりましたがよろしくお願いします

∫[-∞→∞] (sinx)/x dx=π
について教科書の解説を見ても理解出来ないところがあったので教えてください。
手持ちの教科書では次のような流れで計算をしていました
F(z)=exp(iz)/zとおく
F(z)はz=0に1位の極を持つのでz=0を避けるような経路C(添付図)をとる … (1)
D2は半径εの半円弧である
F(z)はCで正則なので∫[C] F(z)dz = 0 … (A)
F(z)の経路C=R+U+L+D1+D2+D3においてR,U,Lでの積分は0(証明長くなるので省略)

また、D2での積分は
∫[D2] F(z) dz = ∫[D2] {F(z)-(1/z)} dz +∫[D2] (1/z) dz
と分ける...続きを読む

Aベストアンサー

>F(z)はCで正則なので∫[C] F(z)dz = 0
>がコーシーの積分定理だけでなく留数定理からも導けたということですね、コーシーの積分定理にとらわれて見えていませんでした
そういうつもりで書いていましたが、そう書いている所は見つからないですね。(web上でしか探してませんが・・・)
留数定理の特別な場合がコーシーの積分定理と考えても問題は生じないと思いますが、そう考える事は少ないのかもしれません。

>手持ちの教科書ではaが1位の極でf(z)=h(z)/g(z)で表せるとき
>Res(a) = h(a)/g'(a)と書かれていました
あぁ、aは1位の極という条件があったのですね。
教科書に書いてあるのならそれでいいのでしょう。(私などの言うことよりは教科書に書いてある事を信じるべきです)

>>>D1とD3は実軸上なのでその経路上の積分においてF(z)=F(x)=exp(ix)/xと置き換えられる
>これは本当にいいんでしょうか。教科書などでもいきなりやってるのでなんとなくやってましたが
>∫[実軸と水平な直線N]F(z)dz = ∫[Nの左端のx座標→Nの右端の座標]F(x)dx について手持ちの教科書では説明が見当たりません

例えば、#2への補足のD2'上の積分の計算で、
z=εexp(iθ)
と"置換"をしています。
この"置換"によって積分変数が複素数から実数へと変わりますよね。従って"置換"の前後で積分自体の定義が若干変わるので、普通の実数値関数の積分の場合と同様に"置換"ができるという事自体は必ずしも自明ではないと思います。(複素積分の定義にもよるかもしれませんが)
ですので、こういう"置換"ができるという事はお手持ちの教科書のどこかに書いていませんか。
式としては参考URLのComplex line integralの節の3つ目の式です。

ま、証明はともあれこの式を認めてよいのであれば、
ご質問の件はz=xと"置換"をしただけです。参考URLの式で言えばγ(x)=xとしているだけです。

>また、今回のRやLのような虚軸方向の直線の積分はyの積分に置き換えていいんでしょうか
z=±X+iyと"置換"をする(γ(y)=±X+iyとして参考URLの式を当てはめる)
のような事をするだけです。

>R,L,U上の積分はあくまでもX→∞,ε→0の極限で0になることの証明は教科書にあるので読めばわかるだろうと高を括っていましたが甘かったようです。
ん、今まで気付きませんでしたが、R,L,U上の積分を考える上ではεは何処にも出てこないのでε→0の極限はとらなくてもいいですね。あと、Y→∞の極限をとる必要もあるでしょう。(この部分は最初に書き損じて後はコピペをしていたせいで全部間違えただけのような気もしますが、せっかく気付いたので念のため)

という事はさておき、この証明はそんなに難しいのですかね。
いや、簡単だとか言っているのではなく、こういう経路で実際に計算した経験(記憶?)がない(&実際に計算をしていない)ので、どこで計算に詰まるのか分らないだけなのですが。

>今回の経路のR,L,Uの代わりに半径Xの半円Pとしてやった経路(P+D1+D2+D3)を考えると1/zはz→∞のとき0に収束するのでジョルダンの補助定理が適用できて∫[P]F(z)dz = 0
まぁ、いいのではないでしょうか。
正確にはz→∞ではなく|z|→∞かな。

参考URL:http://en.wikipedia.org/wiki/Line_integral

>F(z)はCで正則なので∫[C] F(z)dz = 0
>がコーシーの積分定理だけでなく留数定理からも導けたということですね、コーシーの積分定理にとらわれて見えていませんでした
そういうつもりで書いていましたが、そう書いている所は見つからないですね。(web上でしか探してませんが・・・)
留数定理の特別な場合がコーシーの積分定理と考えても問題は生じないと思いますが、そう考える事は少ないのかもしれません。

>手持ちの教科書ではaが1位の極でf(z)=h(z)/g(z)で表せるとき
>Res(a) = h(a)/g'(a)と書かれてい...続きを読む

Q楕円の変数変換

楕円E:(x/a)^2+(y/b)^2≦1 に関して
面積 ∬_E dxdy を求めるとき、
変数変換 x=ar*cosθ,y=br*sinθ を行うと、楕円 E の r,θ での表示 E' はどのようになるのでしょうか?

Aベストアンサー

E={(x,y)|(x/a)^2+(y/b)^2≦1}
E'={(r,θ|0≦r≦1,-π≦θ<π}
 または
E'={(r,θ|0≦r≦1,0≦θ<2π}
で良いでしょう。

なお、積分の変数変換でヤコビアン|J|を忘れないようにして下さい。
つまり
dxdy=|J|drdθ=abrdrdθ
∫[E] dxdy=∫[E'] abrdrdθ
 =4ab∫[0,π/2] dθ∫[0,1] rdr
 =2πab[r^2/2](r=1)
=πab
ということです。


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