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A={a1,a2,a3,a4}、B={b1,b2,b3}、C={c1,c2,c3}
を考えたとき、以下のものは何通りあるかを求めよ。
(1) AからBへの写像
(2) BからAへの単射
(3) BからCへの全単射
(4) AからBへの全射
(5) AからBへの部分写像

という問題の、(4)、(5)がよくわからないのです。
(1)は 3*3*3*3 = 81、
(2)は 4*3*2 = 24、
(3)は 3*2*1 = 6、
(4)は 3*2*1*3 = 18、
(5)は 4*4*4*4 = 256、
と解いて、(1)~(3)は正答と一致したのですが、(4),(5)が違うのです。
ちなみに正答は(4)が36、(5)が空集合を含めて121、となっています。
どこが間違っているのか、ご指摘頂けると幸いでございます。

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A 回答 (2件)

(4)は、「f(a4)と、f(a1)、f(a2)、f(a3)のいずれかが同じになる」


と考えたところがまずかったのではないかと推測します。

例えば
 f(a1) = f(a2) = b1
{ f(a3) = b2
 f(a4) = b3
という場合があります。

(5)は…
ごめんなさい。部分写像の定義がわかりませんでした。
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(4) ですが、Aを3個の空でない部分集合に分け、それをBに1対1対応させと考えます。

前者は4個から2個を取る組み合わせですから6通り。後者は3!で6通り。
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Q全射の総数

|X|=4、|Y|=3であるとき、写像f:X→Yで全射になる写像の総数はいくらか

この回答は36なのですが、考え方が良くわかりません、誰か教えてください、お願いします

Aベストアンサー

 
  この問題に関しての回答でよいということなら記します。
 
  XとYは、要素の差が1しかありません。これがもっとたくさんだと、計算が複雑で解きにくいのですが、ここでは、差1なので、順列組み合わせの考え方を使います。
 
  Yの要素は3個ですから、これを三つの位置と考え、この位置に、Xの四つの要素を入れて行くことにします。この場合、Xの要素のどれか二つが、Yの同じ位置に入ることになります。そこで、Xの要素から二つを組み合わせる可能性の数を考えると、それは4・3で12ですが、これは順列でないので、2で割ると6が出てきます。
 
  Xの四個の要素のなかで、二つを選ぶと、残りの二個は自動的に決まります。つまり、6通りに分けて、それぞれ要素が違う三つの要素があると考えてよいのです。こう言っても分かりにくいかも知れませんから、具体的に、その6通りを以下に書いてみます。X={a,b,c,d}とします。
 
  ケース1){(a,b),c,d}
  ケース2){(a,c),b,d}
  ケース3){(a,d),b,c}
  ケース4){(b,c),a,d}
  ケース5){(b,d),a,c}
  ケース6){(c,d),a,b}
 
  これら6個のケースは、すべて要素が違う集合と考えても構いません。Yの三つの要素の位置に、これら6ケースごとで、三つの要素を入れて行く(対応させて行く)ことを考えると、これが、X→Yの全射になります。6個のケースで、三つの要素の順列を入れ替えても、6個のケースで、同じ、重複した順序はできません。
 
  従って、Yの三つの位置に対する順列を取ると、3・2・1=6で、これと、ケースの数6をかけると、6・6=36になり、これが、答えです。
 
  注記)六個のケースの三つの要素(二つの要素の組み合わせで、一つの新しい要素を造っていることに注意)の順列をどう入れ替えても、6個のケース全体で、同じ重複した組み合わせはできないというのがポイントです。「二重要素」を定義しているので、重複が排除されるのです。
 

 
  この問題に関しての回答でよいということなら記します。
 
  XとYは、要素の差が1しかありません。これがもっとたくさんだと、計算が複雑で解きにくいのですが、ここでは、差1なので、順列組み合わせの考え方を使います。
 
  Yの要素は3個ですから、これを三つの位置と考え、この位置に、Xの四つの要素を入れて行くことにします。この場合、Xの要素のどれか二つが、Yの同じ位置に入ることになります。そこで、Xの要素から二つを組み合わせる可能性の数を考えると、それは4・3で1...続きを読む

Q単射の総数

|A|=m,|B|=n(m<_n)のときの単射f:A→Bの総数を求めよ

この考え方もわかりません どなたか教えてください

Aベストアンサー

>どうしてf(a(m))の取りうる値はn-m+1通り なのですか?
単写、という言葉の意味は分かりますよね?念のため書きますが
 a≠bならばf(a)≠f(b)
という意味です。

f(a(1))のとりうる値の種類はBの要素数のn個です。
f(a(2))のとりうる値の種類は集合Bからf(a(1))の値として選んだ値を除いた集合の個数であるn-1個です。
f(a(3))のとりうる値の種類は「集合Bからf(a(1))の値として選んだ値を除いた集合」から(a(2))の値として選んだ値を除いた集合の個数である(n-1)-1=n-2個です。
f(a(3))のとりうる値の種類は…

ということをa(m)まで繰り返していけば、a(m)のとりうる値の種類がn-m+1個になることが分かります。

なお、上の「…」で省略した部分が分からない、といわれても、私にはそこをやっていく根気はありません。

Q最大元と極大元の定義の違いが分かりません

数学の基礎「齋藤正彦著」p22からの抜粋です。

定義
(X,≦)を順序集合,AをXの部分集合とする。
「1) aがAの元でAの全ての元xに対してx≦aが成り立つ時,aをAの最大元といい,maxAと書く,Aの全ての元xに対してa≦xが成り立つ時,aをAの最小元といい,minAと書く。最大元や最小元は存在するとは限らない,あるとすれば一つしかない。
2) aがAの元で,Aのいかなる元xに対してもa<xとならない時,aを極大元という。x<aなるAの元が存在しない時,aを極小元という。極大元や極小元は存在しない事も有るし,沢山存在する事もある」

と定義が紹介されてるのですが最大元と極大元についてのこの文意
"aがAの元でAの全ての元xに対してx≦aが成り立つ"と"aがAの元で,Aのいかなる元xに対してもa<xとならない"
とは同値だと思います。
違いが分かりません。

一体,どのように違うのでしょうか?

Aベストアンサー

>最大元と極大元の定義の違いが分かりません
最大元と極大元は抽象的に考えても違いが分からなくて当然だと思います。ここは具体例で理解するのがよいと思います。

例はいろいろ考えられますが、たとえば、(x,y)∈R^2について、
(x1,y1)≦(x2,y2)をx1≦x2かつy1≦y2と定義します。
A={(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(2,0)}
のとき、Aの最大元は存在しませんが、極大元は3個あります。ちなみに最小限は(0,0)の1個ですね。

ところで、最大元が存在する場合は、全順序集合、半順序集合に関係なく、それは極大元でもあります。しかし、その逆は成り立ちません。
その意味で、「同値」ではありませんね。

Q数学 集合と写像の問題 回答・解説お願いします。

数学 集合と写像の 過去問ですが、回答がないので困っています。
よろしくお願いします!
前回質問させていただきましたが、問題に打ち間違えがありましたので再度修正して
質問いたします。
ミスをご指摘いただいた方ありがとうございました。

X={3,4,5} Y={5,6,}とする。

(1) YからXへの単射を1つ求めよ。
(2) XからYへの全射を1つ求めよ。
(3) (1)(2)で求めた写像の合成写像を求めよ。
(4) XからXへの写像で全射であるものを全て求めよ。
(5) (4)で求めた写像 f で合成写像 f2=f○fが恒等写像となるものを全て求めよ。
(6) YからYへの写像で単射であるものを全て求めよ。
(7) (6)で求めた写像 f で合成写像 f3=f○f○fが恒等写像となるものをすべて求めよ。

 数学が うまく変換出来ませんでしたので、わかりにくいと思いますが、よろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

(1) 写像 f:Y→X が単射とは ∀y,y'∈Y(y≠y' ⇒ f(y)≠f(y'))となることです。言葉で簡単に言うと、y∈Yのyが違えばその対応する値f(y)とf(y')も異なるということです。
 ですから、f(5)=3,f(6)=3 のような写像は単射ではないわけです。
(2) 写像 g:X→Y が全射とは(∀y∈Y)(∃x∈X) (g(x)=y)となることです。言葉で簡単にいうと、Yにすべての元が写像fによってxに対応しているということです。
 ですから、g(3)=5,g(4)=5,g(5)=5のような写像は全射ではないわけです。(Yの6がどれにも対応づけられていない)
(3) 写像f:A→B,写像g:B→Cが与えられているとする。ことのき、∀a∈Yに対して、集合Cの元cをg(f(a))で定めること。このとき、写像h=g○fで表す。
後は教科書等をしっかりよんで勉強してください。がんばって。

Q逆写像の求め方

以下の逆写像を求めなさい。
定義域と値域はどちらも実数です。
1.f(m)=4m+6
関数の逆写像を求める場合は、n=4m+6をmについて解けば良いのでしょうか?
n-6=4m, m=(n-6)/4。したがって、f^-1(m)=m/4-3/2?で宜しいでしょうか?
2.f(m)=m^3-2
上のやり方が正しければ同様にn=m^3-2, n+2=m^3。mの3乗ってこの先どうにか出来るんでしたっけ。。すみません、逆写像の質問ではなくて数学の基礎なのかも知れませんが、ご存知の方いらっしゃったら教えて下さい。
あと、逆写像は、y=xの線を隔てて対称的な線を描く、という認識は正しいでしょうか。

Aベストアンサー

こんにちは。

>>>
1.f(m)=4m+6
関数の逆写像を求める場合は、n=4m+6をmについて解けば良いのでしょうか?
n-6=4m, m=(n-6)/4。したがって、f^-1(m)=m/4-3/2?で宜しいでしょうか?

それでいいです。
逆関数です。


>>>
2.f(m)=m^3-2
上のやり方が正しければ同様にn=m^3-2, n+2=m^3。mの3乗ってこの先どうにか出来るんでしたっけ。

3√(n+2) と書けばよいです。実数のみですからね。
(n+2)^(1/3) とも書けます。
です。


>>>
あと、逆写像は、y=xの線を隔てて対称的な線を描く、という認識は正しいでしょうか。

そうですね。
関数だったら、そうなります。

Q逆像の問題

関数f(x)=1/X^2 を考える。(Xは実数で0ではない)

E=【1,2】の原像f(E)を求めよ

E=【1,4】の逆像f^-1(H)を求めよ

という二つの問題の解答と、答えの導か方について教えてください。

Aベストアンサー

答え導き方といっても,1個1個の元について確かめるしかないような気がします.

f: R - {0} → R, x ↦ 1/x^2.

E = {1, 2}
に対して,
f(E) = {f(x) ∈ R | x ∈ E} = {1, 1/4}.

ただ,このf(E)は「Eの原像」とはよばず,
「写像fによるEの像」ってよぶんじゃないかと思います.

「H = {1, 4} に対して f^(-1) (H) を求めよ」ってことですよね.

1/x^2 = 1 となる実数は x = ±1,
1/x^2 = 4 となる実数は x = ±1/2
なので,

f^(-1) (H) = {x ∈ R - {0} | f(x) ∈ H} = {-1, -1/2, 1/2, 1}.

この「f^(-1) (H)」を「写像fに対する H の逆像」とか「写像fに対する H の原像」とかよぶんだと記憶してます.
要するに,原像と逆像は同じ意味だったはず.


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