連続写像、逆写像 f：S→S′が連続かつ全単射でもその逆写像が連続写像とは限らないとあり、その近くに

連続写像、逆写像
f：S→S′が連続かつ全単射でもその逆写像が連続写像とは限らないとあり、その近くにじぶんで、実数R上では、成り立つ。
と書き込んであるのですが、
S,S′がRの部分集合である場合だけでしょうか？
S、S′のどちらか一方でも一般の位相空間では成り立たないですよね？

No.1 回答者： usa3usa 回答日時： 2019/07/04 22:49

連続写像というのは「開集合を開集合に対応させる写像」ということですよね。

ならば、
Sの開集合の数よりS'の開集合の数が多ければ、逆写像は連続にならないのでは？

No.2 ベストアンサー 回答者： math男 回答日時： 2019/07/04 23:20

SよりS'の位相が弱いとき、

fは連続で逆写像が連続でなくなると思いますよ。

この回答へのお礼

ありがとうございます

お礼日時：2019/07/09 13:50

No.3 回答者： usa3usa 回答日時： 2019/07/05 07:35

勘違いならごめんなさい

No2> SよりS'の位相が弱いとき、
逆では？

そもそもS’の位相が弱ければ、「Sの開集合よりS'の開集合の数は少ない」ので、
Sの開集合のいくつかは、S'の開集合に対応できないことになり、
全単射の写像ｆが連続にならなくなると思います。

No.4 回答者： math男 回答日時： 2019/07/05 23:33

usa3usaさんが述べておられることは開写像の定義ではないですか？

連続写像とは
開集合の逆像が開集合である写像のことですよ。

No.5 回答者： usa3usa 回答日時： 2019/07/06 11:12

＞連続写像とは

＞開集合の逆像が開集合である写像のことですよ。
確かに！
「開集合を開集合に対応させる写像」と
勘違いしてました。

「開集合の連続写像による引き戻しは開集合」
https://math-note.xyz/topology/continuous-map-in …
でしたね。

混乱させてごめんなさい。No1,No3は撤回します。
ということは、連続写像にしたければ、元の位相を強くして開集合を増やせば良いということですね。

No2が正解ですね。

この回答へのお礼

ありがとうございます

お礼日時：2019/07/09 13:50