線形写像の全射性 双対空間

K=ℝorℂとし、VをK-線形空間とする
i=1,…nに対し、K-線形写像λ_i:V→Kをとり、
VからK^nへのK-線形写像φをφ(v)=(λ_1(v),…,λ_n(v))で定める

{λ_1,…,λ_n}がVの双対空間の元として線形独立ならば、φは全射になるか？というのが質問です

質問者からの補足コメント

• 多分自己解決できたと思います　
  瞬殺だと回答して頂いた方もいましたが全くそうは思えません…
  
  まず、Vの次元がn以上であることを示します
  Vの次元がｎ未満であると仮定し、基底〈v_1,…,v_m〉 (m<n)をとります
  a_1,…,a_n∈Kとして、
  「任意のx_1,…,x_m∈Kに対し、a_1Σx_iλ_1(v_i)+…+a_nΣx_iλ_n(v_i)=0」
  この条件を同値変形していくとa_1,…,a_nを未知数としたm本の連立一次方程式に帰着される
  m<nなので非自明解をもつのでλ_1,…,λ_nが線形独立であることに矛盾する

    補足日時：2022/12/12 21:10

• 次にVの線形独立なｎ個の元{v_1,…,v_n}でλ_i(v_j)=δ_ij となるものがあることを示します
  これが言えれば全射であることは明らかです
  
  Ｖが有限次元の場合を示します（無限次元でも同様にできます）
  〈u_1,…,u_m〉をＶの基底とする　(m≧n)
  ここでλ_1(u_1)=1としてよい
  w_1=u_1,
  w_i=u_i-λ_i(u_i)u_1 (i=2,…,m)と定める
  〈w_1,…,w_m〉はＶの基底であり、λ_1(w_i)=δ_1i
  ここでλ_1とλ_2の一次独立性よりλ_(w_2),…,λ_2(w_m)のいずれかは０でないので
  〈w_1,…,w_m〉に関しても同じような操作ができる
  これを更に繰り返せば求める{v_1,…,v_n}が得られる

    補足日時：2022/12/12 21:39

No.1 ベストアンサー 回答者： stomachman 回答日時： 2022/12/11 23:07

「φは全射」とは要するに「{λ_1,…,λ_n}が張る空間がn次元だ」ということ。

とりあえずn=2で絵でも描いてみれば、「問いが一体何を尋ねているのか」がわかると思う。あとは瞬殺でしょう。