対称変換

実線形空間V の線形変換T と任意のx, y ∈ V に対して，(T(x), y) = (x, T∗ (y)) が成り立つ．
この主張を示せ

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/12/18 17:15

Vをn次元線形空間

Tをn行n列の行列
(T*)=(Tの転置共役行列)
とすると
任意のA,B∈ Vに対して
A,Bをn行1列の行列とみなすと
AとBの内積は
(A,B)=(A*)B…(1)
となる

任意のx,y∈ Vに対して(1)で(x=A,y=B)とすると
(T(x),y)={(Tx)*}y　…(2)
となる

(Tx)*=(x*)(T*)
だから両辺に右からyをかけると

{(Tx)*}y=(x*)(T*)y
だからこれと(2)から

(T(x),y)=(x*)(T*)y　…(3)

(1)で(x=A,(T*)y=B)とすると

(x,(T*)y)=(x*)(T*)y
だからこれと(3)から

∴
(T(x),y)=(x,(T*)y)

No.1 回答者： stomachman 回答日時： 2022/12/11 22:57

(Tx, y) = (Tx)* y = x*T*y = あとはできるっしょ。

この回答へのお礼

続きもお願い出来ますか？

お礼日時：2022/12/11 22:58