左固有ベクトルの幾何学的意味は,何でしょうか?
できれば直観的な説明を教えていただければ,幸いです.また,以下の記述におかしなところがありましたらご指摘願います.
右固有ベクトルに関しては,分かり易いです.右固有ベクトルuは,行列Aに右側から掛けられますから,Aによる変換を「受ける」立場にあります.変換「する」のはA,変換「される」のはuです.その幾何学的意味は,変換されも方向は変わらず(要素間の値の比は変わらず),大きさだけが変化する(各要素が,等しくL倍になる.このLが固有値)ということです.2次元あるいは3次元座標を紙に書いて,図示による説明も分かり易いです.
一方,左固有ベクトルvは,行列Aの左側に位置しますから,変換を「受ける」のはAのほうです.変換「する」のはv,変換「される」のはAです.変換の結果,a次正方行列であるAは,1行a列行列になります.その幾何学的意味は,???
よろしくお願い致します.
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
「幾何学的に」「直観的に」ということなので、例えば、3次元座標空間内で言うと、
uはAの表す変換によりそれ自身に移る不動直線の方向ベクトルですが、
vはAの表す変換によりそれ自身に移る不動平面の法線ベクトルです。
vと垂直な不動平面をPとして、空間内の任意の点とPとの距離が変換Aによりどう変わるか見ると
点の取り方によらず、Aによる変換の前後では一定の比になります。
これがvに対する固有値に相当します。
変換後の点の位置は、固有値が正なら変換前と平面の同じ側、負なら反対側になります。
No.1
- 回答日時:
u'=Au …(1)
vA=v'
の両辺を転置すれば、
t(vA)=tv'
tAtv=tv'
すなわち、
tv'=tAtv
で、(1)の形になります。
>その幾何学的意味は,?
Aの転置行列での変換であり、「幾何学的な」意味は同じです。
ちなみに、A=(αij) とすると、
α_iju~j=α_i1u~1+α_i2u~2+…+α_inu~n
u~iα_ij=u~1α_1i+u~2α_2i+…+u~nα_ni
で、列ベクトルと行ベクトルを厳密に区別しての話なら別です。
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