左固有ベクトルの幾何学的意味は，何でしょうか？

Question

できれば直観的な説明を教えていただければ，幸いです．また，以下の記述におかしなところがありましたらご指摘願います．

右固有ベクトルに関しては，分かり易いです．右固有ベクトルuは，行列Aに右側から掛けられますから，Aによる変換を「受ける」立場にあります．変換「する」のはA，変換「される」のはuです．その幾何学的意味は，変換されも方向は変わらず（要素間の値の比は変わらず），大きさだけが変化する（各要素が，等しくL倍になる．このLが固有値）ということです．2次元あるいは3次元座標を紙に書いて，図示による説明も分かり易いです．

一方，左固有ベクトルvは，行列Aの左側に位置しますから，変換を「受ける」のはAのほうです．変換「する」のはv，変換「される」のはAです．変換の結果，a次正方行列であるAは，1行a列行列になります．その幾何学的意味は，？？？

よろしくお願い致します．

momordica · Accepted Answer

「幾何学的に」「直観的に」ということなので、例えば、３次元座標空間内で言うと、
uはAの表す変換によりそれ自身に移る不動直線の方向ベクトルですが、
vはAの表す変換によりそれ自身に移る不動平面の法線ベクトルです。

ｖと垂直な不動平面をＰとして、空間内の任意の点とＰとの距離が変換Ａによりどう変わるか見ると
点の取り方によらず、Ａによる変換の前後では一定の比になります。
これがｖに対する固有値に相当します。
変換後の点の位置は、固有値が正なら変換前と平面の同じ側、負なら反対側になります。

OKXavier · Answer

u'=Au　…(1)

vA=v'
の両辺を転置すれば、

t(vA)=tv'
tAtv=tv'
すなわち、
tv'=tAtv
で、(1)の形になります。

>その幾何学的意味は，？
Aの転置行列での変換であり、「幾何学的な」意味は同じです。

ちなみに、A=(αij)　とすると、
α_iju~j=α_i1u~1+α_i2u~2+…+α_inu~n
u~iα_ij=u~1α_1i+u~2α_2i+…+u~nα_ni
で、列ベクトルと行ベクトルを厳密に区別しての話なら別です。

左固有ベクトルの幾何学的意味は，何でしょうか？

「幾何学的に」「直観的に」ということなので、例えば、３次元座標空間内で言うと、

u'=Au …(1)

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u'=Au　…(1)