アーベル群

短完全系列というのがよくわからなくてこまっています。

短完全系列というのは
０→Ｈ→Ｇ→Ｋ→０
というカタチである、と本には書いてあるのですが
たとえば
０→Ｈ→Ｇ→Ｋ→Ｊ→０
というのも短完全系列と呼ぶのでしょうか？
（アルファベットはアーベル群、各写像→は準同型写像です）

No.2 ベストアンサー 回答者： kabaokaba 回答日時： 2006/04/04 22:32

代数やカテゴリー論で

「短完全列」（short exact sequence）は
普通に使われる用語です．
一般には
０→Ｈ→Ｇ→Ｋ→Ｊ→０
のような「長い」ものは短完全列とはいいません．

０→Ｈ→Ｇ→Ｋ→０だとうれしいことがあるのは
No.1さんのおっしゃるとおりです．
細かいことをいえば

>　⇔「hが単射，かつ g(x)が単位元ならば
>　　　xはあるHの元の像，かつ gが全射」
は

⇔「hが単射，
かつ
g(x)が単位元ならばxはあるHの元の像，
　 かつ
Hの元yに対してg(h(y))は単位元
かつ
gが全射」

でしょうか．K=0だったりH=0であることを
証明できれば同型も示せますので

この回答へのお礼

＞「長い」ものは短完全列とはいいません
疑問が晴れました。
ありがとうございます。
「短」完全列ですもんね・・
そしてこの形についての説明もありがとうございます。

お礼日時：2006/04/05 02:17

No.1 回答者： waseda2003 回答日時： 2006/04/04 20:47

質問の主旨がいまひとつわかりづらいのですが，

完全系列 O→H→G→K→O が短いので，その本では
「短（い）完全系列 O→H→G→K→O は・・・」という
文章になっているだけなのではないでしょうか。
たとえば，「素数３は・・・」という文章があったとして，
それは３が素数の定義というわけではありませんよね。

もし，その本の中で「短完全系列」なる用語を定義して
いるとすれば，それをきちんと書いていただかないと，
回答のしようがないと思います。

h：H→G，g：G→K とすると，
　　「O→H→G→K→O が完全系列」
　　⇔ Ker(h)=0 かつ Im(h)=Ker(g) かつ Im(g)=K
　　⇔「hが単射，かつ g(x)が単位元ならば
　　　xはあるHの元の像，かつ gが全射」
　　⇔ 「K と G/H は同型」
となりますから，アーベル群の基本定理（有限アーベル群
は巡回群の直和に同型）を証明するための準備なのでは
ないかと推察されます。

最後の O→H→G→K→J→O となると一般の完全系列と
なってしまって，O→H→G→K→O のときのような特別な
意味合いはないと思うのですが，いかがでしょうか。

この回答へのお礼

もうしわけありません、
私の読んでいた本では短完全系列が定義されていて

h:H→G,g:G→Kとするとき
０→H→G→K→０
が完全であるとき、短完全列という

ものでした。
質問内容もわかりづらくて申し訳なかったのですが、
完全列の定義のときは
たとえばｆ_i:G_i→G_i-1　（f_iは準同型）で
・・・→G_i+1→G_i→G_i-1→・・・
このときIm(f_i)=Ker(f_i-1)となるときにGiにおいて完全であり、
すべてのGiについてこの関係が成り立つとき完全列であるとありました。
なので短完全列というものは
両端が０の系列のことをいうのかな？とおもったわけです。
ですが私も先ほどよんでみてわかりづらく・・申し訳ないです。


＞h：H→G，g：G→K とすると，
のところからの部分を理解することができ、
この短完全列が特別な意味合いをもってることがわかりました。
どうしてこの形が特別にでてきたのかわかりました、ありがとうございました。

お礼日時：2006/04/05 02:12