大学数学です。この問題教えてください！ 初めの２つが同次系であとの２つは完全系です。

大学数学です。この問題教えてください！
初めの２つが同次系であとの２つは完全系です。

No.1 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/06/05 19:29

(1) それでいい。

この微分方程式は確かに一階線型同次形で、u = y/x と置けば
x,u の変数分離形に変形できる。そのまま計算を進めるべし。

(2) その微分方程式を y’=… の形に変形すると、
ｙ’ = (x/y)^2 + y/x となっている。 これは同次形じゃないかね？
u = y/x と置けば、(1) と同様に x,u の変数分離形に変形できる。

(3) u = x-y+1 で置換したら、式が見易くならないか？
（x-y+1)dx + (-x+y+2)dy = 0 は、
udx + (3-u)(dx - du) = 0 を経て
dx/du = -(1/3)u + 1 と変形できる。
u で積分して x = -(1/6)u^2 + u + C (Cは定数).
x = -(1/6)(x-y+1)^2 + (x-y+1) + C となるね。

(4) これは、いかにも完全形っぽい。
F(x,y) = (1/3)x^3 -2xy + (1/3)y^3 と置くと
0 = (x^2 - 2y)dx + (- 2x + y^2)dy
　= (∂F/∂x)dx + (∂F/∂y)dy
　= dF
だから、積分すれば
C = F(x,y) = (1/3)x^3 -2xy + (1/3)y^3, (Cは定数).

この回答へのお礼

ありがとうございます！

お礼日時：2023/06/08 10:30