No.2ベストアンサー
- 回答日時:
代数やカテゴリー論で
「短完全列」(short exact sequence)は
普通に使われる用語です.
一般には
0→H→G→K→J→0
のような「長い」ものは短完全列とはいいません.
0→H→G→K→0だとうれしいことがあるのは
No.1さんのおっしゃるとおりです.
細かいことをいえば
> ⇔「hが単射,かつ g(x)が単位元ならば
> xはあるHの元の像,かつ gが全射」
は
⇔「hが単射,
かつ
g(x)が単位元ならばxはあるHの元の像,
かつ
Hの元yに対してg(h(y))は単位元
かつ
gが全射」
でしょうか.K=0だったりH=0であることを
証明できれば同型も示せますので
>「長い」ものは短完全列とはいいません
疑問が晴れました。
ありがとうございます。
「短」完全列ですもんね・・
そしてこの形についての説明もありがとうございます。
No.1
- 回答日時:
質問の主旨がいまひとつわかりづらいのですが,
完全系列 O→H→G→K→O が短いので,その本では
「短(い)完全系列 O→H→G→K→O は・・・」という
文章になっているだけなのではないでしょうか。
たとえば,「素数3は・・・」という文章があったとして,
それは3が素数の定義というわけではありませんよね。
もし,その本の中で「短完全系列」なる用語を定義して
いるとすれば,それをきちんと書いていただかないと,
回答のしようがないと思います。
h:H→G,g:G→K とすると,
「O→H→G→K→O が完全系列」
⇔ Ker(h)=0 かつ Im(h)=Ker(g) かつ Im(g)=K
⇔「hが単射,かつ g(x)が単位元ならば
xはあるHの元の像,かつ gが全射」
⇔ 「K と G/H は同型」
となりますから,アーベル群の基本定理(有限アーベル群
は巡回群の直和に同型)を証明するための準備なのでは
ないかと推察されます。
最後の O→H→G→K→J→O となると一般の完全系列と
なってしまって,O→H→G→K→O のときのような特別な
意味合いはないと思うのですが,いかがでしょうか。
もうしわけありません、
私の読んでいた本では短完全系列が定義されていて
h:H→G,g:G→Kとするとき
0→H→G→K→0
が完全であるとき、短完全列という
ものでした。
質問内容もわかりづらくて申し訳なかったのですが、
完全列の定義のときは
たとえばf_i:G_i→G_i-1 (f_iは準同型)で
・・・→G_i+1→G_i→G_i-1→・・・
このときIm(f_i)=Ker(f_i-1)となるときにGiにおいて完全であり、
すべてのGiについてこの関係が成り立つとき完全列であるとありました。
なので短完全列というものは
両端が0の系列のことをいうのかな?とおもったわけです。
ですが私も先ほどよんでみてわかりづらく・・申し訳ないです。
>h:H→G,g:G→K とすると,
のところからの部分を理解することができ、
この短完全列が特別な意味合いをもってることがわかりました。
どうしてこの形が特別にでてきたのかわかりました、ありがとうございました。
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