(2)の問題を教えてください。一階線形微分方程式です。⑴が前段階と思います。

(2)の問題を教えてください。一階線形微分方程式です。⑴が前段階と思います。

No.1 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/07/11 10:27

(1)y'-2y=0

の一般解は
y=Ce^(2x)

(2)y'-2y=cos(x)

{ye^(-2x)}'
=y'e^(-2x)-2ye^(-2x)
=(y'-2y)e^(-2x)
=e^(-2x)cos(x)

ye^(-2x)
=∫{e^(-2x)cosx}dx
=-e^(-2x)(cosx)/2-(1/2)∫{e^(-2x)sinx}dx

∫{e^(-2x)sinx}dx=-e^(-2x)(sinx)/2+(1/2)∫{e^(-2x)cosx}dx

ye^(-2x)
=-e^(-2x)(cosx)/2-(1/2)∫{e^(-2x)sinx}dx
=-e^(-2x)(cosx)/2+e^(-2x)(sinx)/4-(1/4)∫{e^(-2x)cosx}dx
=-e^(-2x)(cosx)/2+e^(-2x)(sinx)/4-(1/4)ye^(-2x)

y=-(cosx)/2+(sinx)/4-(1/4)y
(5/4)y=-(cosx)/2+(sinx)/4
5y=-2cosx+sinx
5y=sinx-2cosx
∴(2)の特殊解は
y=(sinx-2cosx)/5
∴(2)の一般解は
y=(sinx-2cosx)/5+Ce^(2x)
y(0)=-2/5+C=3
C=3+2/5=17/5
∴
y=(sinx-2cosx)/5+(17/5)e^(2x)

この回答へのお礼

ありがとうございます

お礼日時：2021/07/12 12:19

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/07/11 16:05

非斉次線型微分方程式(2)の一般解は、

(2)自身のひとつの特殊解と
この方程式の斉次化方程式 y^(1) = 2y の一般解
との和で表される。
y^(1) = 2y の一般解は、初期値を与えた (１) と同様に、
積分して 2y - 2y₀ = (log x) - (log x₀) より
y = Ce^(2x) {Cは定数} によって与えられる。

あとは、(2) の特殊解を見つけるだけだが、
y^(1) - 2y = cos x を見て、直感的に
というか、経験からくる洞察によって
y = A sin x + B cos x で行けそう！ と思えれば勝ち。　　←[1]
(2) へ代入して、
(A - 2B)cos x + (B + 2A)sin x = cos x となる定数 A, B は
連立一次方程式 A - 2B = 1, B + 2A = 0 の解として
A = 1/5, B = -2/5 と求まる。

以上より、(2) の一般解は
y = Ce^(2x) + (1/5)cos x - (2/5)sin x であり、
初期条件を代入すれば、
3 = C + 1/5 より C = 14/5.
よって、答えは
y = (14/5)e^(2x) + (1/5)cos x - (2/5)sin x.

[1] で敗けてしまった人は、
定数変化法とか微分演算子法とかラプラス変換法とかで
悲しい計算に深入りするしかない。御苦労さま。