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問題)f:R^n→R^nを同型写像とする。このとき、fの逆写像も同型写像となることを証明せよ。

以上の問題の方針として、Vを集合とした時に写像f:V→V、g:V→Vにおいてf◦g=idv、g◦f=idvならば、f、gは全単射であることを用いるのではないかと思ったのですが、これで正しいでしょうか。間違っていれば正しい方針を教えていただけないでしょうか。

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A 回答 (2件)

そもそも「ベクトル空間の同型写像」というのを


どのように定義していますか?

まあ,実際は
「全単射な線型写像があれば,その逆写像も線型である」
を示せば十分なのでしょう.

任意のベクトルx,y,任意のスカラーk,lに対して,
あるベクトルa,bが存在して
a=f(x), b=f(y)とおける.fは線型なので
ka+lb=f(kx+ly),よって,
f^{-1}(ka+lb)=kx+ly=kf^{-1}(a)+lf^{-1}(b)
よって,f^{-1}も線型

この回答への補足

回答ありがとうございます、同型写像の定義は線形でありかつ全単射です。

補足日時:2007/11/10 23:31
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R^n は多分実数体 R の直積空間なのでしょう。


今、写像 f : R^n -> R^n をどんな構造の上の「同型写像」だとしているのか補足して下さい。

ベクトル空間ですか?多様体ですか?それとも、もっと別の何か?

「同型」というのは「構造を含めて同じ」という意味なので、今 R^n 上で考えている構造が何かわからないと証明のしようがありません。

この回答への補足

失礼しました、ベクトル空間でおねがいします。

補足日時:2007/11/10 22:58
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Q同型とは?

複素解析の本に
『複素数からその共役にうつる演算は体Cの1つの自己同型である』
とか
『体Cの同型で部分体Rの元を動かさないものはα→α(つまりなにも動かさぬ同型)とこの共役に限る』
とあるんですが、『同型』という言葉の定義について何も書いてありません。

同型とはなんですか?

Aベストアンサー

2つの体KとLが同型というのは、
KとLが同じ構造をしている
ということで、ぶっちゃけた話
KとLは同じものだと思ってもさしつかえないよ
ということです。
(これは私の同型というものに対するイメージです。)

厳密には、
2つの体KとLが同型というのは、KからLへの同型写像がある
というもので、同型写像とは
全単射な準同型写像
のことです。
KからLへの準同型写像とは
任意のa,b∈Kに対し f(a+b)=f(a)+f(b),f(ab)=f(a)f(b)
を満たすKからLへの写像(関数)fのことです。

例を1つ。
R^2={(x,y)| x,yは実数}と複素数体Cは同型です。
R^2からCへの写像fを
f(x,y)=x+iy (iは虚数単位)
と定めるとfは同型写像になるからです。
R^2とCは同型なのですから
R^2とCはほとんど同じものだと考えてよいことになります。

また、自分から自分への(つまりCからCとか)の同型写像を
自己同型写像、あるいは略して自己同型といいます。
f(x+iy)=x-iy というある複素数をその共役に写すという写像fは
自己同型写像になりますよ、というのが
>『複素数からその共役にうつる演算は体Cの1つの自己同型である』
の述べていることです。

詳しく知りたいのでしたら代数学の本をひもとく必要がありますが、
そこを理解しないと先へ進めないということもないでしょうから、
(というのは質問にある『体Cの同型でうんぬんなんてのは
複素解析を学ぶ上でははっきり言ってどうでもいいことだからです)
頭の片隅にでも残しておいて飛ばしてもいいと思いますよ。

2つの体KとLが同型というのは、
KとLが同じ構造をしている
ということで、ぶっちゃけた話
KとLは同じものだと思ってもさしつかえないよ
ということです。
(これは私の同型というものに対するイメージです。)

厳密には、
2つの体KとLが同型というのは、KからLへの同型写像がある
というもので、同型写像とは
全単射な準同型写像
のことです。
KからLへの準同型写像とは
任意のa,b∈Kに対し f(a+b)=f(a)+f(b),f(ab)=f(a)f(b)
を満たすKからLへの写像(関数)fのことです。

例を...続きを読む

Q【代数学】可換群の証明

【問題】
Gを群とする。任意の、x,y属する(記号の入力がわかりません)Gに対して(xy)^2=x^2y^2が成り立つならば、Gは可換群であることを示せ。ただし、群の公理のみを使って示すこと。

【解答】
群の公理は、以下の①から④である。
①その演算に関して集合は閉じていること。
②結合法則
③単位元の存在
④逆元の存在

①は条件より満たされている。
②は、(xy)^2=x(yy)x=x)y^2)x=x^2y^2となり、満たされる。
③は、単位元1があるため、満たされる。
④は、逆元0があるため、満たされる。
以上から、Gは可換群ということができる。

【質問】
以上のようにして問題を解きました。
したところ、×でした。
どなたか、正答をお教えください。

Aベストアンサー

質問者は問題の意図を完全に理解していません。

問題が聞いているのはGが可換群であることを示すことです。

Gが群であることは問題の前提であるため証明する必要はありません。
証明すべきことは可換、つまり
xy=yx
であることです。

ここで使えるのは群の公理と(xy)^2=x^2y^2だけ。
結合則から
(xy)^2=(xy)(xy)=x(yx)y
これがx^2y^2と等しい。
つまり
x(yx)y=x^2y^2

質問者は②のところでいろいろ変形していますが、証明すべきxy=yxを使って式を変形しているため問題です。xy=yxというのは証明していないため使えません。

x(yx)y=x^2y^2

この式の両辺に左からx^-1,右からy^-1をかけてみましょう。そうすれば
xy=yx
が得られるはずです。

Qe^-2xの積分

e^-2xの積分はどうしたらよいのでしょうか…。e^xやe^2xsinxなどはのってるのですがこれが見つかりません。お願いします。

Aベストアンサー

いささか、思い違いのようです。

e^-2x は、 t=-2x と置いて置換してもよいけれど、牛刀の感がします。

e^-2x を微分すると、(-2)*( e^-2x )となるので、

e^-2x の積分は、(-1/2)*( e^-2x )と判明します。

Q代数学の質問です[準同型写像の証明]

次の問題が与えられています。

整数nに対して、φ(n)=i^nと定める。ただし、iは虚数単位。
(1)φは加法群Zから乗法群C^xへの準同型写像であることを示せ。

これに対して、
「φ(xy)=φ(x)φ(y)が成り立つ」ことを示せば良いということがわかりました。
それで、実際に当てはめてみると、

i^xy=(i^x)*(i^y)=i^(x+y)
となり、成立しません。

どうしたら良いのでしょうか?
教えてください。

Aベストアンサー

群準同型について考えるときは, 「群の二項演算は何であるか?」ということが重要です.

今回の場合
Zは加法群なので, 二項演算は +,
C^× は乗法群なので, 二項演算は ⋅
です. したがって, 示すべきことがらは
i ^(x+y)=(i^x) ⋅ (i^y)
です.

Qwell-definedについて

ある問題集に以下のことが書かれていました。
「整数aのmを法とする剰余類は
[a]={x|x≡a(mod m)}とする。
また、Z/mZ={[x]m|x∈Z}とする。
a,b∈Z、剰余類に加法+を定義する:
[a]+[b]=[a+b]
これは代表元の選び方に依存しない。
すなわち演算+はwell-definedである。」

ここで何故「これは代表元の選び方に依存しない。
すなわち演算+はwell-definedである。」
といえるのですか?
よく意味が分かりません。教えてください。

Aベストアンサー

商空間に演算を入れるときはいつでもwell-definedを証明しなくてはなりません。やさしいので出来れば自力でやっていただきたいですが、おそらく初めてのことだろうと思うので、一例です。参考にしてみてください。

今、ある代表元、a,bを取ってきて、[a]+[b]を[a+b]で定義します。
そして別の代表元a'、b'を取ってきて[a'+b']を計算したとします。
もし[a+b]=[a'+b']でないのなら、この演算は代表元の取り方に依存したことになりますし、
逆にこれが等しいのであれば、代表元の取り方には依存しないわけです。

さて、(a+b)-(a'+b')=(a-a')+(b-b')です。
いま、aもa'もともに同じ剰余類[a]に属していますから、mで割った余りは等しい。
したがって(a-a')|mです。つまりmで割り切れる。
同様に(b-b')もmで割り切れます。
つまり、(a+b)-(a'+b')はmの倍数なわけです。
したがって、a+bとa'+b'は同じ剰余類に属します。
すなわち[a+b]=[a'+b']という分けです。

これは合同式の演算の正当化でもあります。
x≡y (mod m)
z≡w (mod m)
であれば、
x+z≡y+w (mod m)
というものです。余りだけ見るのだから、
余りが等しいものなら何で計算してって一緒(well-defined!)
というわけですね。

商空間に演算を入れるときはいつでもwell-definedを証明しなくてはなりません。やさしいので出来れば自力でやっていただきたいですが、おそらく初めてのことだろうと思うので、一例です。参考にしてみてください。

今、ある代表元、a,bを取ってきて、[a]+[b]を[a+b]で定義します。
そして別の代表元a'、b'を取ってきて[a'+b']を計算したとします。
もし[a+b]=[a'+b']でないのなら、この演算は代表元の取り方に依存したことになりますし、
逆にこれが等しいのであれば、代表元の取り方には依存しないわけです...続きを読む

Q単射 全射 全単射 について教えてください

タイトルの通り、単射 全射 全単射についていまいち納得できないので教えてください。

今、手元に問題が5つあるのですが


自然数、整数、実数全体の集合をそれぞれN,Z,Rとする。

(1)f:Z→N f(x)=x2(二乗)
(2)f:R→R f(x)=2x(x乗)
(3)f:R→R f(x)=sinx
(4)f:Z→R f(x)=x3(三乗)
(5)f:R→R f(x)=2x+1

例えば、(1)であれば 
Zが1のとき、Nは1、Zが2のとき、Nは4という風にZが決定すればNはただひとつ必ず決まるから単射。
でも、Zが2のときは、Zは1とも-1ともいえるので全射ではない、ということなのでしょうか。
全単射、というのはそうするとどういった状態を言うのでしょうか・・・

それぞれの問題も全くちんぷんかんぷんです。
どうか教えてください。

Aベストアンサー

(1) f: Z→N, f(x) = x^2
 x = 1,-1 に対し f(x) はどちらも 1 ですから,単射ではありません.
 また N の元 2 に対する Z の元が存在しない (f(x) = 2 になるような整数がない) ため全射でもありません.
 
(2) f: R→R, f(x) = 2^x
 f(x) は単調増加ですから単射といえましょう.つまり x = 5 が与えられたら f(5) = 32 ですし,f(x) = 32 が与えられたらそのような x は 5 しかありません.
 また全射ではありません.R への写像となっていますが,f(x) = 0 や負になるような x がないからです.
 
(3) f: R→R, f(x) = sin x
 sin x は周期関数ですから,たとえば x = 0,π,2π,... と無限に多くの x に対し f(x) が同じ値になります.だから単射ではありません.
 また sin x は -1 から 1 の値しかとりませんから,R の上に全射でもありません.
 
(4) f: Z→R, f(x) = x^3
 f(x) が単調増加ですから単射です.つまり一つの f(x) に対してもとの x が二つ以上定まるということはありません.
 また f(x) = 2 なる x も Z にはないので全射でありません.
 
(5) f: R→R, f(x) = 2x +1
 全単射です.f(x) は単調に全実数をわたるから単射かつ全射です.

(1) f: Z→N, f(x) = x^2
 x = 1,-1 に対し f(x) はどちらも 1 ですから,単射ではありません.
 また N の元 2 に対する Z の元が存在しない (f(x) = 2 になるような整数がない) ため全射でもありません.
 
(2) f: R→R, f(x) = 2^x
 f(x) は単調増加ですから単射といえましょう.つまり x = 5 が与えられたら f(5) = 32 ですし,f(x) = 32 が与えられたらそのような x は 5 しかありません.
 また全射ではありません.R への写像となっていますが,f(x) = 0 や負になるような x がないからです.
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Q部分群であることの証明

部分群であることの証明
Gを群、Hをその部分集合とし、a,b∈Gに対し、「a~b⇔ab^(-1)∈H」なる~ が同値関係であるとする。このとき、HはGの部分群であることを証明してほしいです。

部分群であることを証明するには、(1)結合法則が成り立つこと(2)単位元の存在(3)逆元の存在が言えればいいこと、
同値関係の定義については理解しています。

ですが証明文を書くことができず、困っています。


回答よろしくお願いします。

Aベストアンサー

えっと、同値の関係は、それでいいと思いますよ。

「結果的に同じことになった」と前にも書いたかな?

この問題では二つの同値 ~ と ⇔ がでてきているけれど、

両方とも、本来の意味として、結果的に同じになっているで、構いませんよ。

で、例に挙げた群だけど。。

実数全体(0を除く) (以下、R0 と書くことにしますね)と

演算子掛け算 × を持ってくると、群の定義は?

単位要素の存在、逆要素の存在、結合則の成立だよね。

R0の中から、好きな二つを取ってきます。

何でも構いません。掛け算した答えは、必ず実数になりますね。

 #無理数も実数だからね。虚数にならなければいい。

ここで二項代数として成立。

単位要素は、「1」ですね。 任意のR0∋c について、

c×1=c 動かないので単位要素だね。

逆要素は、c^(-1)だね。 c×(1/c)=1 単位要素に帰るわけだから。

 #0をどけたのは、これができないから。

例) c=√2 のとき c×c^(-1)=√2/√2 =1

無限に要素があるけど、これはすごく簡明な群なんだけどな・・・。

この場合は数値になるから、Hもとりやすいと思うけれども。

取ってみてくれるかな? そしたら少しつかめると思うけど。


そしてね、どっかでこれ見たことあるなぁ~と思ってました。

「群論への30講」 志賀浩二 著 朝倉出版

この、第八項に同じのがある。

出身が電気工学で、この本で独学したんだ(^^;)

本屋さん(大きな)に行く機会があったら、捜してみて?

もう結構古いから、絶版かもしれないけれど。


代数を専門とされてはいないのかな。ちょっと出てきたと言う感じかな?

群 って言うのをもう少し分かってからのほうがいいのかもしれない問題かもね?

かじるくらいにしては、少し難しいかもしれない。


でもね、例に挙げたのが群だと思って、そこから部分群になるようにHの要素を

持ってきてみて?

それができると、ある程度見晴らしがでてくると思う。

えっと、同値の関係は、それでいいと思いますよ。

「結果的に同じことになった」と前にも書いたかな?

この問題では二つの同値 ~ と ⇔ がでてきているけれど、

両方とも、本来の意味として、結果的に同じになっているで、構いませんよ。

で、例に挙げた群だけど。。

実数全体(0を除く) (以下、R0 と書くことにしますね)と

演算子掛け算 × を持ってくると、群の定義は?

単位要素の存在、逆要素の存在、結合則の成立だよね。

R0の中から、好きな二つを取ってきます。

何でも構いません...続きを読む

Q空集合は開集合であることの証明が納得できません

X は距離空間とする。
部分集合 U ⊂ X について,U のどの点をとっても,正数 ε が存在して,Bε(x) ⊂ U が成立するとき,U は開集合であるという。
このとき次の定理とその証明が書いてありました。

(i) X 自身および空集合は開集合である.
(ii) 有限個の開集合 U1, ..., Un の共通部分 U1∩・・・∩ Un は開集合である.
(iii) 開集合の族 Uλ (λ ∈ Λ) について,和集合 ∪(λ∈Λ) Uλ は開集合である.

証明
(i) X が開集合であることは明らかである.空集合については,属する点がないのであるから,開集合の条件を満たしていると考えることができる.

(ii) 任意の点 x ∈ U1∩ ・・・∩ Un をとると,各 i について,x ∈ Ui である.したがって,正数 εi が存在して,Bεi(x) ⊂ Ui となる.そこで,ε = mini { εi } とおけば,Bε(x) ⊂ U1∩・・・∩ Un となり,U1∩・・・∩ Un が開集合であることがわかる.

(iii) 任意の点 x ∈ ∪(λ∈Λ)Uλ をとれば,ある λ があって,x ∈ Uλ となる.このとき,ある正数 ε が存在して,Bε(x) ⊂ Uλ⊂ ∪λ∈ΛUλ となるので,∪(λ∈Λ)Uλ は開集合である.
----------------------------------
上記の証明において、
空集合は開集合であることの証明が納得できません。

空集合は開集合であることは、開集合の定義の前提条件が成り立たなくて、偽なので、全体としては真になるのでしょうか?

それとも、空集合は開集合であるというのは、定義にすべきことがらなのでしょうか?

できれば論理的に詳しくお願いいたします。

X は距離空間とする。
部分集合 U ⊂ X について,U のどの点をとっても,正数 ε が存在して,Bε(x) ⊂ U が成立するとき,U は開集合であるという。
このとき次の定理とその証明が書いてありました。

(i) X 自身および空集合は開集合である.
(ii) 有限個の開集合 U1, ..., Un の共通部分 U1∩・・・∩ Un は開集合である.
(iii) 開集合の族 Uλ (λ ∈ Λ) について,和集合 ∪(λ∈Λ) Uλ は開集合である.

証明
(i) X が開集合であることは明らかである.空集合については,属する点がないのであるから...続きを読む

Aベストアンサー

>それとも物理のかぎしっぽがおかしいのでしょうか?
そう。定義が間違っている。
群であるためには単位元の存在が必須です。
この定義では空集合も「群」になってしまい、明らかに都合が悪い。

定義にどのような数学的存在を含めるかは空集合を含めて、考察対象にあわせて好きに決めればよい。
qqqqqhf さんにとって空集合が「特別な存在」に見えるのでデリケートな問題に見えているだけです。

Qイデアルの証明がよくわかりません…(/_;)

本を読んでいて,
次の命題を証明したいのですが….

Iを有理整数環Zのイデアルとすると,I=Zaとなる整数aが存在する.

イデアルの考え方も自信がないので,
分かりやすく証明を書いていただけると嬉しいです(T T)

よろしくお願いします!!

Aベストアンサー

だいたい良いので、細かいところだけ

>[i] I={0}=(0)の場合
>これは,どんな整数と0をかけても0になるので,成り立つ.

よろしくありません。
「どんな整数と0をかけても0になる」ので、何が成立しているのかはっり書くべきです。


>[ii]I≠(0)
>この場合を考えるとき,例えばmがイデアルの元であるとすると,
>マイナスをかけた場合もイデアルに含まれることは定義よりわかる.
>よって,これより元が自然数である場合を考えることにする.

微妙にわかってないような気もするけどスルー。


> 逆の場合を考えてみる.Iから任意の元nをとると,
> nは(正の)整数なので, n=aq+r, 0≦r<a をみたす整数q, rが存在する.

n は任意にとったので、正の整数とは限りません。
その後の議論で「正の」整数であることは使用していないことに注意しましょう。

Q環の準同型定理

今、環の準同型定理で詰まっています。
これはどういうことを表しているのですか?
また証明も知りたいです

Aベストアンサー

以下は私の考えを私のことばで書いたものである。きちんと本で確認し、自分で考えを深めてね。


【環の準同型定理とは何ぞや】

R/ker f と f(R) が、自然な対応で加法群として同型になっている。環同型でも見えてるものは同じである。

なのでまず、R/ker f に乗法が入ることを示す。f(R) の方は自明である。
R/ker f の乗法は R から引き継がれる。
剰余類どうしの乗法は、ひとつの類の任意の元にもうひとつの類の任意の元をかけると、そのどれもがただ一つの類に収まることで決まる。
そのことを示すには、a+ker f=a'+ker f 、b+ker f=b'+ker f ならば ab+ker f=a'b'+ker f を示せばよい。
言い換えると、a-a' , b-b'∈ker f ならば ab-a'b'∈ker f を示せばよい。
これは ab-a'b'=a(b-b')+(a-a')b' と変形すれば示せる。
この乗法は R から自然に入るので、結合則も分配法則も従う。
また、1+ker f は R/ker f の単位元であることも容易に示せる。

次に、写像 F : a+ker f → f(a) が同型写像であることをいう。
これはすでに加法群の同型写像なので、F((a+ker f)(b+ker f))=F(a+ker f)F(b+ker f) 、F(1+ker f)=1' を示せばよい。これは容易だ。


要するに環の準同型定理とは、R/ker f には R から引き継いだ環の代数構造が自然に入って環になり、f(R) もまた R から、折り畳まれながら押し付けられてできた新しい環の構造が R' の中にもともとあった部分環として実現されていて、それらの環の構造はぴったり同じであるということである。
その対応は準同型写像 f から引き起こされる。


【環を加法群と見たときの剰余群に、自然に乗法が入るかどうかについて】

実数体 K 上の多項式環 K[x] において、x で生成される部分環は Z[x]x である。一方、x で生成されるイデアルは K[x]x である。イデアルとは、もとの環の元をその元にかけると自身に吸収してしまう部分環のことである。
加法群の剰余群は加法群であるが、それに乗法が入るかどうかを確かめてみる。
K[x]/Z[x]x においては、1.7x-0.7x , 10x-x∈Z[x]x に対して 1.7x・10x-0.7x・x∈Z[x]x でないので、自然な乗法が入らない。
一方、K[x]/K[x]x においては、p-q , r-s∈K[x]x ならば pr-qs=(p-q)r+q(r-s)∈K[x]x なので K[x] から乗法を引き継ぐ。

これが、ただの部分環とイデアルの違いである。


【数学地方の方言「つぶす」】

数学を勉強していると、「つぶす」という表現に出会うことがある。同値関係で「割る」とか、代数系をそのイデアルで「割る」とかのことである。
同値類や剰余類は集合族であるが、「つぶす」とは、それらの集合を点のように扱うばかりでなく、構造のあるものにはその構造が衝突することなく折り畳まれて構造を再構築するようにうまくやることである。(私たちはこれを、{偶数、奇数} の演算で感覚的に知っている。偶数や奇数を集合のように扱ったり、そうでなかったり)
特に環準同型 f の ker f など、f によって 0 という1点につぶれ、他の剰余類も1点につぶれるので、まさに点と見なせてわかり易い。さらに、環の構造も、形は変われども引き継がれる。
ker f の話が分かりやすければ、イデアルで割る場合も同様である。
なぜなら、R のイデアルを I とするとき、自然な準同型 f : R → R/I に準同型定理を当てはめれば ker f = I となるからである。
イデアルで割ることも、イデアルにまつわるものを 0 につぶすことなのである。

つぶしてやると、ときにはオリジナルにはなかった構造が再構築されることがある。
可換にしたり、0 以外の零因子を生み出したり消したり、閉じてないものを閉じたりなどである。


===
伝えたいことを言葉を替えて何度か書いて冗長になった。
さりげなくだじゃれを差し込めて満足だ。

以下は私の考えを私のことばで書いたものである。きちんと本で確認し、自分で考えを深めてね。


【環の準同型定理とは何ぞや】

R/ker f と f(R) が、自然な対応で加法群として同型になっている。環同型でも見えてるものは同じである。

なのでまず、R/ker f に乗法が入ることを示す。f(R) の方は自明である。
R/ker f の乗法は R から引き継がれる。
剰余類どうしの乗法は、ひとつの類の任意の元にもうひとつの類の任意の元をかけると、そのどれもがただ一つの類に収まることで決まる。
そのことを示すには、a+k...続きを読む


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