No.2ベストアンサー
- 回答日時:
微分作用素は線形だから、
y^(k)=Σciyi^(k)(k=0,1,2,…,n)
が成り立つ。
これで、y^(n)+p1y^(n-1)+p2y^(n-2)+…+pnyを作ってみれば、
Σの中がCiでくくれて、yiが解であることから、0になる。
k階の微分作用素をD^(k)と表わすと、D^(k)y=y^(k)で、この微分方程式
は、
(D^(n)+p1D^(n-1)+p2D^(n-2)+…pn)y=0
と表せ、yにかかっている微分作用素をD1とおくと、
D1y=0
と表せる。
D1はD1(c1y1+c2y2)=c1D1y1+c2D1y2のように線形の性質がある。
(これが線形微分方程式の線形といわれるゆえんである。)
つまり、D1は関数空間の間の線形写像になっている。
D1y=0の解を求めるということは、線形代数でいうところの線形写像D1
の核(kernel)を求めるということで、当然、解全体の集合は線形空間
(部分空間)をなしている。したがって、解の線形結合も解になってい
る。
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