四次対称群S4が可解群であることの証明について

私の持っている参考書では、S4が可解群であることの証明について、

G＝S4, N＝{1,(1 2)(3 4),(1 3)(2 4),(1 4)(2 3)} とすると、NはGの正規部分群で、
G/NはS3と同型である。S3は可解群なので、S4は可解群である。

とあったのですが、最後の文が理解できません。
なぜS3が可解であるとS4が可解なのでしょうか？

No.3 ベストアンサー 回答者： xixixi 回答日時： 2020/08/14 10:47

つぎのように一般論で考えることもできます。

前にあげた
（＊）「一般に，φ: G' → Gが群の全射準同型でH がGの正規部分群のとき，H' = φ^(-1)(H) はG' の正規部分群で G'/H' と G/H は同型である。」
を使って，つぎを示しましょう。
（＊＊）「H がGの正規部分群で可解群，かつ G/H も可解群とする。このとき，Gも可解群である。」
証明：
{e}=N0 ⊂ N1 ⊂ ・・・⊂ N(k-1) ⊂Nk = G/H　①
N(i-1)はNiの正規部分群で，Ni/N(i-1)はアーベル群とする。
π: G → G/H を標準射影として，
Hi = π^(-1)(Ni) (i = 0, ・・・, k)
とおくと，
H0 ⊂ H1 ⊂ ・・・⊂ H(k-1) ⊂ Hk = G ②
（＊）より，H(i-1)はHiの正規部分群で，Hi/H(i-1) はNi/N(i-1)は同型であり特にアーベル群。（i = 1, ・・・, k）。
また，H0 = H は仮定によって可解群だから，
{e} = H(-m) ⊂ H(-m+1) ⊂ ・・・ ⊂ H(-1) ⊂ H0 ③
で各 Hj はH(j+1)の正規部分群で，H(j+1)/Hj はアーベル群。(j = -m ,-m+1, ・・・,-1)
②と③をつなげると，G は可解群であることがわかる。q.e.d.


（＊＊）を用いると，S4 の部分群 N がアーベル群だから， S4/N と同型な S3 が可解群なら，S4は可解群ということなります。

P.S.
S4の可解性は，A4を４次交代群として，
{e} ⊂ N ⊂ A4 ⊂ S4，N=アーベル群，A4/N = A3, S4/A4 = S2
を考えるのが一番簡単だと思いますが，
S4/N = S3 を用いるのは４次方程式の解法理論と結びつけられているのかもしれません。

この回答へのお礼

とても分かりやすい説明をありがとうございます。
僕もA4を用いた方の証明でS4が可解群なのは簡単に納得したのですが、参考書の文章がどうも引っ掛かったので質問させて頂きました。
ベストアンサーに選ばさせて頂きます。

お礼日時：2020/08/16 10:29

No.2 回答者： xixixi 回答日時： 2020/08/14 09:58

（＊）「一般に，φ: G' → Gが群の全射準同型でH がGの正規部分群のとき，H' = φ^(-1)(H) はG' の正規部分群で G'/H' と G/H は同型である。

」
（∵ φと標準射影 G → G/H をつなげた全射準同型 G' → G/H のカーネル = H'）

A3を3次交代群（ {1,2,3}の偶置換の全体 ）とすると，A3は位数3の巡回群でS3の正規部分群。
{e} ⊂ A3 ⊂ S3， S3/A3 = S2 （同型）
によってS3は可解群になっています。

標準射影 S4 → S4/N と同型 S4/N → S3 をつなげて
π : S4 → S3 を全射準同型とする。
N= π^(-1)(e) であり，N1 = π^(-1)(A3) とおくと，これらはS4の正規部分群（∵（＊））。
よって
{e} ⊂ N ⊂ N1 ⊂ S4
は正規鎖である。
上の（＊）より
S4/N1 と S3/A3 は同型だから，S4/N1 はアーベル群。
N1/N と A3/{e} = A3は同型だから，N1/N はアーベル群。
（または，N1の位数は4!/2=12 でNの位数は4だから，N1/N は3次巡回群で特にアーベル群。）
N は直接確かめられるようにアーベル群。
ゆえに，S4 は可解群である。

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2020/08/14 05:33

可解群の定義

正規鎖
{1}=G(0)⊂G(1)⊂…⊂G(k)=G
{G(j-1)はG(j)の正規部分群}_{j=1～k}となっている
{G(j)/G(j-1)がアーベル(可換)群}_{j=1～k}であるとき
Gを可解群という

S3は可解群だから
{1}=G(0)⊂G(1)⊂…⊂G(k)=S3
{G(j-1)はG(j)の正規部分群}となっている
G(j)/G(j-1)がアーベル(可換)群である
ものが存在する

{1}=G(0)⊂G(1)⊂…⊂G(k)=S3⊂S4

S3がS4の正規部分群である事を示し

S4/S3 がアーベル(可換)群である事を示せば

S4は可解群といえる