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等角写像の問題です。w=(2zi-1)/(z+2i)により、|z|=1と|z+5i/4|=3/4の2つの円はどのような図形に写像されるでしょうか。
また、|z+5i/4|=3/4をw=(2zi-1)/(z+2i)により繰り返し写像する。n回写像したときの図形と虚軸の交点の値とnを大きくしたときどのような図形になるか。
どなたか、わかる方よろしくお願いします。

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A 回答 (5件)

まず最初に


 w=(2zi-1)/(z+2i)
これからzについて解くと
 z=-(2iw+1)/(w-2i) …(1)

[|z|=1の写像]
|z|^2=zz~=1より (z~はzの複素共役数とします)
zz~=(2iw+1)/(w-2i)・((2iw+1)/(w-2i))~
=(2iw+1)/(w-2i)・((2iw+1)~/(w-2i)~)
=(2iw+1)/(w-2i)・((-2iw~+1)/(w~+2i))
=(2iw+1)・(-2iw~+1)/((w-2i)・(w~+2i))
=(1+4ww~+2i(w-w~))/(4+ww~+2i(w-w~))
=1
分母を払って
1+4ww~+2i(w-w~)=4+ww~+2i(w-w~)
3ww~=3
ww~=|w|^2=1
∴|w|=1 …(答え)
これは原点を中心とする半径1の円です。
これはw=u+viとおくと
u^2+v^2=1 …これも(答え)の別表現
とも書けます。

[|z+(5i/4)|=3/4の写像] …(◆)
|z+(5i/4)|^2=(z+(5i/4))・(z+(5i/4))~=(3/4)^2=9/16
(1)のzより
(z+(5i/4))・(z+(5i/4))~
=(-(2iw+1)/(w-2i)+(5i/4))・(-(2iw+1)/(w-2i)+(5i/4))~
=(-(2iw+1)/(w-2i)+(5i/4))・(-(-2iw~+1)/(w~+2i)-(5i/4))
=(-4(2iw+1)+5i(w-2i))・(-4(-2iw~+1)-5i(w~+2i))
/(16(w-2i)(w~+2i))
=(1/16)(6-3iw)・(6+3iw~)/(ww~+4+2i(w-w~))
=(9/16)(2-iw)・(2+iw~)/(ww~+4+2i(w-w~))
=(9/16)(4+ww~-2i(w-w~))/(ww~+4+2i(w-w~))
=9/16
従って
(4+ww~-2i(w-w~))/(ww~+4+2i(w-w~))=1
分母を払って
4+ww~-2i(w-w~)=ww~+4+2i(w-w~)
2i(w-w~)=0
w-w~=2iIm(w)=0 (Im(w)はwの虚数部を表す)
∴Im(w)=0 …(答え)
w=u+ivとおけば
v=0つまりw=u(実部のみ)
これは写像がw平面の実数軸ということです。

この写像を繰り返すと
改めて
z=x (y=0)つまりz~=zとおくと
[z-z~=0の写像]
を考える。
(1)を代入して
-(2iw+1)/(w-2i)-(-(2iw+1)/(w-2i))~
=-(2iw+1)/(w-2i)-(-(-2iw~+1)/(w~+2i))
=-(2iw+1)/(w-2i)+(-2iw~+1)/(w~+2i)
=(-(2iw+1)(w~+2i)+(-2iw~+1)(w-2i))/((w-2i)(w~+2i))
=(-(2iw+1)(w~+2i)-(2iw~-1)(w-2i))/((w-2i)(w~+2i))
=-((2iw+1)(w~+2i)+(2iw~-1)(w-2i))/((w-2i)(w~+2i))
=-(2i(ww~+1)-4w+w~+2i(ww~+1)-w+4w~)/(ww~+4+2i(w-w~))
=-(4i(ww~+1)-5(w-w~))/(ww~+4+2i(w-w~))
=0
(4i(ww~+1)-5(w-w~))=0
4(|w|^2+1)-10Im(w)=0
|w|^2+1-(5/2)Im(w)=0
w=u+ivとおくと
u^2+v^2+1-(5/2)v=0
u^2+(v-(5/4))^2=(3/4)^2
|w-(5i/4)|=3/4 …(2)(答え)
(中心5i/4,半径3/4の円)
w=u+ivとおいてu,vを使って表せば
u^2+(v-(5/4))^2=(3/4)^2 …(2')(答えの別解)
となる。

更に写像を繰り返すと(◆)のところに戻り繰り返すことになります。

>n回写像したときの図形と虚軸の交点の値とnを大きくしたときどのような図形になるか。

n回写像したときの図形は、実数軸(w=u)の直線または(2)または(2')の方程式で示される円となrます。
nを大きくしたときも図形は同じで、写像は、実軸と円とが交互に繰り返し現れます。
虚軸との交点は
写像か実数軸(v=0)のとき、原点(0,0)となります。
写像が円のとき(0,5/4±3/4)=(0,2)と(0,1/2)になります。
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この回答へのお礼

丁寧な回答ありがとうございました。

お礼日時:2013/03/10 13:52

もう1つ書き忘れてました。

複素平面は、平面でなく、無限遠点も付け加えて球面で考えた方が分かりやすいでしょう。北極を無限遠点と考えて、南極を0と考えます。すると、逆数を取る変換は、北半球と南半球を入れ替える変換になります。赤道は、 0 を中心とする半径 1 の円に相当します。ちなみに、実数軸は、東経(or西経) 0 度の経線と 180 度の経線を繋いだ大円になります。
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「逆数をとる変換はどうやるのでしょうか」



1/z = x + iy ( x と y は実数)、 r = 3/4 とおきます。中心 3i/4 、半径 3/4 の円は、次の式で表わせます。

   | z - ir | = r

よって、 x と y が満たすべき条件は、

  | 1/(x+iy) - ir | = r

です。これから、

   y = -1/(2r) = -2/3

を得ます(添付図参照)。

*******

一般に、逆数をとる変換により、

  0 を通る円は直線に
  0 を通らない円は円に
  直線は 0 を通る円に

移動します。直線も円の一種(無限遠点を通る円!)とみなせば、常に円を円に移すことになります。平行移動や定数倍が円を円に移すことは明らかなので、結局、一次変換は、常に円を円に移すことになります。
「等角写像の問題です。」の回答画像4
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この回答へのお礼

そうやるのですね。分かりました。ありがとうございました。

お礼日時:2013/03/10 13:52

失礼しました。

ANo.2に添付図をつけるのを忘れてました。
「等角写像の問題です。」の回答画像3
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別解です。

結果は、ANo.1さんと同じになります。

次の[1]、[2]、[3]は、ご存知でしょうか?

[1]  a, b, c, d を複素数として、 w = (az + b) / (cz + d) のような写像のことを「線形変換( linear trasformation )」という。

[2]  線形変換は、上のa, b, c, d を並べた2行2列行列で表すことができる(添付図の S )。2つの線形変換の合成は、行列の積に対応する。

[3]  任意の線形変換は、次の3つの変換の組み合わせで表現できる。

(イ) 平行移動
(ロ) 逆数を取る変換
(ハ) 定数倍する変換

実際、行列 S は、 c≠0 のとき、添付図2行目のような積に分解されます。これを右からみていって、w = (az + b) / (cz + d) は、次の変換を順に施していったものであることが分かります。

(二)  d/c を加える平行移動
(ホ)  逆数を取る変換
(へ)  (bc-ad)/c^2 倍する変換
(ト)  a/c を加える平行移動

ご質問の w = (2zi-1)/(z+2i) は、添付図の行列 T で表現され、これは、添付図4行目のような積に分解されます。よって、これは、次の変換を順に施していったものです。

(チ)  2i を加える平行移動
(リ)  逆数を取る変換
(ヌ)  3 倍する変換
(ル)  2i を加える平行移動

******

(円 |z+5i/4|=3/4 の行先)

例えば、円 |z+5i/4|=3/4 の行先を見てみましょう。この円は、(チ)によって、中心 3i/4 、半径 3/4 の円に移ります。そして、(リ)により、Im(z) = -2i/3 の直線に移ります。さらに、(ヌ)により、Im(z) = -2i の直線に移ります。最後に、(ル)により、Im(z) = 0 の直線(実数軸)に移ります。

(円 |z|=1 の行先)

練習のつもりで、上と同じようなことをやってみてください。

(変換 w = (2zi-1)/(z+2i) を n 回実行したとき)

変換 w = (2zi-1)/(z+2i) を n 回実行することは、行列 T^n に対応します。行列T^n を上の(二)(ホ)(へ)(ト)のように分解(or 添付図の2行目のように分解)すれば、自ずと結果が分かります。なお、Tの固有値が i と 3i なので、お決まりの行列の対角化を行えば、T^n の成分は、簡単に計算できるはずです。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。「そして、(リ)により、Im(z) = -2i/3 の直線に移ります」とありますが、逆数をとる変換はどうやるのでしょうか。

お礼日時:2013/03/09 21:16

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2乗して
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QPが群Gのシローp-部分群であるとき Pが唯一のシローp-部分群である

Pが群Gのシローp-部分群であるとき Pが唯一のシローp-部分群であることと

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<シローの定理>
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よってシローp-部分群は存在する

(2)H: Gのp-部分群とすれば
Hを含むシローp-部分群が存在する

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(4)シローp-部分群の個数は
1+k*p の形 (k∈Z,k≧0)

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p-シロー群が正規部分群とは次の二つのことが成り立つ。

(1) Pは正規部分群 ⇔ xP = Px,∀x.
(2) P,Qがp-シロー群 ⇒ aP = Qa,∃a.

Q
= aPa^{-1} (2)より
= P (1)より

よってP=Q、つまり、ただ一つしかない。

p-シロー群がP一つしかないとき
⇒すべてのxに対してp-シロー群xPx^{-1}とPは共役。
⇒axPx^{-1} = Pa,∀x
⇒yPy^{-1} = P,∀y
(y = axと変形)
⇒Pは正規部分群

どうかな、てきとーなんで、ゆるしてね

Q複素積分 ∫[-∞→∞] (sinx)/x dxについて

∫[-∞→∞] (sinx)/x dx=π
について教科書の解説を見ても理解出来ないところがあったので教えてください。
手持ちの教科書では次のような流れで計算をしていました
F(z)=exp(iz)/zとおく
F(z)はz=0に1位の極を持つのでz=0を避けるような経路C(添付図)をとる … (1)
D2は半径εの半円弧である
F(z)はCで正則なので∫[C] F(z)dz = 0 … (A)
F(z)の経路C=R+U+L+D1+D2+D3においてR,U,Lでの積分は0(証明長くなるので省略)

また、D2での積分は
∫[D2] F(z) dz = ∫[D2] {F(z)-(1/z)} dz +∫[D2] (1/z) dz
と分けるとF(z)-(1/z)はz=0で正則なのでε→0のとき積分の値は0 … (2)
∫[D2] (1/z) dz は z=εexp(iθ)とおいて計算すると-πiになる
(A)でX,Y→∞ ε→0とすると
∫[-∞→∞] (exp(ix)/x dx - πi =0 …(B)
exp(ix)=cos(x)+isin(x)より、
∫[-∞→∞] (cosx)/x dx + i∫[-∞→∞] (sinx)/x dx = πi
両辺の虚部をとって
虚部をとって∫[-∞→∞] (sinx)/x dx=π
ここまでが教科書での解答の大まかな流れです
疑問点は以下のとおりです
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D:D1とD3は回答中で触れてないが無視していいのか
E:この問題はタイトルの積分を留数定理で解けという問題だったのですが留数定理使ってないような?

長くなりましたがよろしくお願いします

∫[-∞→∞] (sinx)/x dx=π
について教科書の解説を見ても理解出来ないところがあったので教えてください。
手持ちの教科書では次のような流れで計算をしていました
F(z)=exp(iz)/zとおく
F(z)はz=0に1位の極を持つのでz=0を避けるような経路C(添付図)をとる … (1)
D2は半径εの半円弧である
F(z)はCで正則なので∫[C] F(z)dz = 0 … (A)
F(z)の経路C=R+U+L+D1+D2+D3においてR,U,Lでの積分は0(証明長くなるので省略)

また、D2での積分は
∫[D2] F(z) dz = ∫[D2] {F(z)-(1/z)} dz +∫[D2] (1/z) dz
と分ける...続きを読む

Aベストアンサー

>F(z)はCで正則なので∫[C] F(z)dz = 0
>がコーシーの積分定理だけでなく留数定理からも導けたということですね、コーシーの積分定理にとらわれて見えていませんでした
そういうつもりで書いていましたが、そう書いている所は見つからないですね。(web上でしか探してませんが・・・)
留数定理の特別な場合がコーシーの積分定理と考えても問題は生じないと思いますが、そう考える事は少ないのかもしれません。

>手持ちの教科書ではaが1位の極でf(z)=h(z)/g(z)で表せるとき
>Res(a) = h(a)/g'(a)と書かれていました
あぁ、aは1位の極という条件があったのですね。
教科書に書いてあるのならそれでいいのでしょう。(私などの言うことよりは教科書に書いてある事を信じるべきです)

>>>D1とD3は実軸上なのでその経路上の積分においてF(z)=F(x)=exp(ix)/xと置き換えられる
>これは本当にいいんでしょうか。教科書などでもいきなりやってるのでなんとなくやってましたが
>∫[実軸と水平な直線N]F(z)dz = ∫[Nの左端のx座標→Nの右端の座標]F(x)dx について手持ちの教科書では説明が見当たりません

例えば、#2への補足のD2'上の積分の計算で、
z=εexp(iθ)
と"置換"をしています。
この"置換"によって積分変数が複素数から実数へと変わりますよね。従って"置換"の前後で積分自体の定義が若干変わるので、普通の実数値関数の積分の場合と同様に"置換"ができるという事自体は必ずしも自明ではないと思います。(複素積分の定義にもよるかもしれませんが)
ですので、こういう"置換"ができるという事はお手持ちの教科書のどこかに書いていませんか。
式としては参考URLのComplex line integralの節の3つ目の式です。

ま、証明はともあれこの式を認めてよいのであれば、
ご質問の件はz=xと"置換"をしただけです。参考URLの式で言えばγ(x)=xとしているだけです。

>また、今回のRやLのような虚軸方向の直線の積分はyの積分に置き換えていいんでしょうか
z=±X+iyと"置換"をする(γ(y)=±X+iyとして参考URLの式を当てはめる)
のような事をするだけです。

>R,L,U上の積分はあくまでもX→∞,ε→0の極限で0になることの証明は教科書にあるので読めばわかるだろうと高を括っていましたが甘かったようです。
ん、今まで気付きませんでしたが、R,L,U上の積分を考える上ではεは何処にも出てこないのでε→0の極限はとらなくてもいいですね。あと、Y→∞の極限をとる必要もあるでしょう。(この部分は最初に書き損じて後はコピペをしていたせいで全部間違えただけのような気もしますが、せっかく気付いたので念のため)

という事はさておき、この証明はそんなに難しいのですかね。
いや、簡単だとか言っているのではなく、こういう経路で実際に計算した経験(記憶?)がない(&実際に計算をしていない)ので、どこで計算に詰まるのか分らないだけなのですが。

>今回の経路のR,L,Uの代わりに半径Xの半円Pとしてやった経路(P+D1+D2+D3)を考えると1/zはz→∞のとき0に収束するのでジョルダンの補助定理が適用できて∫[P]F(z)dz = 0
まぁ、いいのではないでしょうか。
正確にはz→∞ではなく|z|→∞かな。

参考URL:http://en.wikipedia.org/wiki/Line_integral

>F(z)はCで正則なので∫[C] F(z)dz = 0
>がコーシーの積分定理だけでなく留数定理からも導けたということですね、コーシーの積分定理にとらわれて見えていませんでした
そういうつもりで書いていましたが、そう書いている所は見つからないですね。(web上でしか探してませんが・・・)
留数定理の特別な場合がコーシーの積分定理と考えても問題は生じないと思いますが、そう考える事は少ないのかもしれません。

>手持ちの教科書ではaが1位の極でf(z)=h(z)/g(z)で表せるとき
>Res(a) = h(a)/g'(a)と書かれてい...続きを読む


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