写像が全単射となるための必要条件

写像ｆ：Ｒ＾2→Ｒ＾2，ｆ(x,y)＝(ax+by,cx+dy)が全単射となるときの必要十分条件を求めたいです。（ただし、a,b,c,d∈Ｒとする。）
たしか、全単射の必要十分条件は、「逆写像が存在する」だったと思うのですが、それは、Ｒ→Ｒのときだけなのでしょうか、ぜんぜん、関係ないかもしれませんが。
よろしくご教授ください。

No.1 ベストアンサー 回答者： Tacosan 回答日時： 2005/02/23 20:04

そもそも写像という概念自体実数などに限定されるわけではないので, 定義域・値域に関係なく全単射であることは逆写像が存在することの必要十分条件です.

で今の例では (x, y) → (ax+by, cx+dy) という写像なんですが, この写像を表す行列が正則であれば (その行列の逆行列で表される) 逆写像が存在するので全単射となります.

この回答への補足

つまり、
　　行列｛a,b,c,d｝に逆行列が存在する
　⇔ad-bc≠0
が必要十分条件ということですね。

補足日時：2005/02/23 21:00

この回答へのお礼

よくわかりました。
ありがとうございました。

お礼日時：2005/02/23 21:05