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写像f:R^2→R^2,f(x,y)=(ax+by,cx+dy)が全単射となるときの必要十分条件を求めたいです。(ただし、a,b,c,d∈Rとする。)
たしか、全単射の必要十分条件は、「逆写像が存在する」だったと思うのですが、それは、R→Rのときだけなのでしょうか、ぜんぜん、関係ないかもしれませんが。
よろしくご教授ください。

A 回答 (1件)

そもそも写像という概念自体実数などに限定されるわけではないので, 定義域・値域に関係なく全単射であることは逆写像が存在することの必要十分条件です.



で今の例では (x, y) → (ax+by, cx+dy) という写像なんですが, この写像を表す行列が正則であれば (その行列の逆行列で表される) 逆写像が存在するので全単射となります.

この回答への補足

つまり、
  行列{a,b,c,d}に逆行列が存在する
 ⇔ad-bc≠0
が必要十分条件ということですね。

補足日時:2005/02/23 21:00
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この回答へのお礼

よくわかりました。
ありがとうございました。

お礼日時:2005/02/23 21:05

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Q単射 全射 全単射 について教えてください

タイトルの通り、単射 全射 全単射についていまいち納得できないので教えてください。

今、手元に問題が5つあるのですが


自然数、整数、実数全体の集合をそれぞれN,Z,Rとする。

(1)f:Z→N f(x)=x2(二乗)
(2)f:R→R f(x)=2x(x乗)
(3)f:R→R f(x)=sinx
(4)f:Z→R f(x)=x3(三乗)
(5)f:R→R f(x)=2x+1

例えば、(1)であれば 
Zが1のとき、Nは1、Zが2のとき、Nは4という風にZが決定すればNはただひとつ必ず決まるから単射。
でも、Zが2のときは、Zは1とも-1ともいえるので全射ではない、ということなのでしょうか。
全単射、というのはそうするとどういった状態を言うのでしょうか・・・

それぞれの問題も全くちんぷんかんぷんです。
どうか教えてください。

Aベストアンサー

(1) f: Z→N, f(x) = x^2
 x = 1,-1 に対し f(x) はどちらも 1 ですから,単射ではありません.
 また N の元 2 に対する Z の元が存在しない (f(x) = 2 になるような整数がない) ため全射でもありません.
 
(2) f: R→R, f(x) = 2^x
 f(x) は単調増加ですから単射といえましょう.つまり x = 5 が与えられたら f(5) = 32 ですし,f(x) = 32 が与えられたらそのような x は 5 しかありません.
 また全射ではありません.R への写像となっていますが,f(x) = 0 や負になるような x がないからです.
 
(3) f: R→R, f(x) = sin x
 sin x は周期関数ですから,たとえば x = 0,π,2π,... と無限に多くの x に対し f(x) が同じ値になります.だから単射ではありません.
 また sin x は -1 から 1 の値しかとりませんから,R の上に全射でもありません.
 
(4) f: Z→R, f(x) = x^3
 f(x) が単調増加ですから単射です.つまり一つの f(x) に対してもとの x が二つ以上定まるということはありません.
 また f(x) = 2 なる x も Z にはないので全射でありません.
 
(5) f: R→R, f(x) = 2x +1
 全単射です.f(x) は単調に全実数をわたるから単射かつ全射です.

(1) f: Z→N, f(x) = x^2
 x = 1,-1 に対し f(x) はどちらも 1 ですから,単射ではありません.
 また N の元 2 に対する Z の元が存在しない (f(x) = 2 になるような整数がない) ため全射でもありません.
 
(2) f: R→R, f(x) = 2^x
 f(x) は単調増加ですから単射といえましょう.つまり x = 5 が与えられたら f(5) = 32 ですし,f(x) = 32 が与えられたらそのような x は 5 しかありません.
 また全射ではありません.R への写像となっていますが,f(x) = 0 や負になるような x がないからです.
...続きを読む

Q証明の仕方教えてください、

線形写像に関する次元公式 dimV=dim Ker(φ)+dimφ(V) を用いて『有限次元ベクトル空間の線形変換φは、単写であることと、全写であることが同値である』ことを証明せよ。

という問題なのですが、どのような手順を踏んでいったらよいのか分かりません。ヒントで十分ですのでぜひお手伝いしていただけたらと思います。
お願いします。

Aベストアンサー

#1の者です。
認めることが多すぎて,問題として述べることがほとんどないことが,気になってはいました。
結局,「次元,単射,全射がよくわからない」ということでしょうか。

φが単射 ⇔「φ(u)=φ(v) ならば u=v」(「単射」の定義)
     ⇔「φ(u-v)=0 ならば u-v=0」(線型性より)
     ⇔「φ(v)=0 ならば v=0」
定義は「u≠v ならば φ(u)≠φ(v)」と表されることもありますが,上の表記と同値ですね。

次に,全射についてですが,純粋な包含関係ではなく,次元で決まってしまうところが,線型空間の特殊なところです。

φが全射 ⇔ φ(V)=V ⇔ dim(V)=dim(φ(V))
の最後の同値関係を示すには,

WをVの線型部分空間(W⊆V)とするとき,
W=V ⇔ dim(W)=dim(V)

であることを示せば十分です。
次元が「線型独立なベクトルの最大個数」もしくは「基底をなすベクトルの個数」であることを考えれば,⇒は明らかですね。逆を示します。

{w_1,w_2,・・・,w_n}をWの基底とします。
(n=dim(W)=dim(V))

vをVの任意のベクトルとすると,線型独立なベクトルの個数の最大性より,v,w_1,w_2,・・・,w_n は線型従属となります。
したがって,(c,c_1,c_2,・・・,c_n)≠(0,0,・・・,0)
なるスカラーを用いて

 cv+c_1*w_1+c_2*w_2+・・・+c_n*w_n=0

と表されます。ここで,c=0とすると,

 c_1*w_1+c_2*w_2+・・・+c_n*w_n=0

より c_1=c_2=・・・=c_n=0 となって仮定に反するので,
c≠0です。
そこで,-c_k/c = a_k(k=1,2,・・・,n)とおくと

 v = a_1*w_1+a_2*w_2+・・・+a_n*w_n ∈ W

となって,V⊆Wが示されました。

以上の議論は,次元定理(次元公式)に行き着くまでに,何度か現れる手法です。
問題文では「・・・は認めてよい」となっていますが,勉強としてはその部分の確認から始める方が良いと思います。

#1の者です。
認めることが多すぎて,問題として述べることがほとんどないことが,気になってはいました。
結局,「次元,単射,全射がよくわからない」ということでしょうか。

φが単射 ⇔「φ(u)=φ(v) ならば u=v」(「単射」の定義)
     ⇔「φ(u-v)=0 ならば u-v=0」(線型性より)
     ⇔「φ(v)=0 ならば v=0」
定義は「u≠v ならば φ(u)≠φ(v)」と表されることもありますが,上の表記と同値ですね。

次に,全射についてですが,純粋な包含関係ではなく,次元で決まってしまうところが,線...続きを読む

Q逆写像について

逆写像について質問です。
教科書で定義を見てもいまいち理解できません。
具体的な例を挙げます。

いま、A={a,b,c,d,e}とし、AからAへの写像fを
f={(a,c),(b,a),(c,d),(d,b),(e,e)}
とするとf^(-1)の値はどうなるか?

自分が考えたのは、単にそのまま逆にして
f^(-1)={(a,b),(b,d),(c,a),(d,c),(e,e)}
となるのではないかと思ったのですが、これで合っていますでしょうか?
逆写像の考え方等どなたか詳しい方は教えてください。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

定義は
写像f:X→Yの逆写像f(-1):Y→Xとは、y∈Yに対してf(x)=yとなるx∈X
を対応させる規則のことですね。

これはfが全単射でなくてはちゃんと定義できません。

たとえば
f:{a,b,c}→{a,b,c}

f(a)=a
f(b)=a
f(c)=b
などと定義すると、
f(-1)(a)はaとbの2つ
f(-1)(b)=c
f(-1)(c)はない
などとなって、f(-1)が定義できません。
これは、fが単射でも全射でもないからです。

また、
f:{a,b,c}→{a,b,c,d}

f(a)=a
f(b)=b
f(c)=c
と定義すると、
f(-1)(a)=a
f(-1)(b)=b
f(-1)(c)=c
f(-1)(d)はない
となって、f(-1)は定義できません。
これは、fが単射ではあるが、全射ではないからです。

しかし、単射ではあるが、全射ではない写像f:X→Yに関して、
f(-1)の定義域をf(X)に限定すれば逆写像がちゃんと定義できます。

また、f(-1)の逆写像はもとのfになります。

集合XとYの間に全単射f:X→Yが定義できるときにXとYは対等といって、
X~Yなどと書きます。XとYが有限集合なら、XとYの要素の個数が等しいときのみ可能です。

XとYが無限集合でも、たとえば、
X:自然数全体の集合、Y:偶数全体の集合
として、f(n)=2nと定義すると、fは全単射で、X~Yであり、
f(-1)(2n)=nで逆写像はちゃんと定義できます。
すなわち、XもYも無限の度合いが同じということです。

また、X:自然数全体の集合、Y:有理数全体の集合
としても全単射f:X→Yがちゃんと定義でき、X~Yです。
すなわち、有理数全体の集合は1、2、3、・・・と番号付けを
することができます。
(これは最初は不思議で、ちょっと難しいですが、数学者カントール
の考えた方法で、本当です。)

しかし、X:自然数全体の集合、Y:実数全体の集合とすると、
全単射f:X→Yは定義できないので、X~Yではありません。
すなわち、実数全体の集合は無限の度合いが自然数全体の集合より
高いということで、1、2、3、・・・と番号を付けてすべてを数
え上げることはできません。

逆写像を考えるときは、定義域、値域をしっかり念頭に置くことが
肝心です。

どのレベルの方かわからないので、いろいろ書いてしまいました。
(ほとんど集合の教科書に書いてあると思いますが。)

定義は
写像f:X→Yの逆写像f(-1):Y→Xとは、y∈Yに対してf(x)=yとなるx∈X
を対応させる規則のことですね。

これはfが全単射でなくてはちゃんと定義できません。

たとえば
f:{a,b,c}→{a,b,c}

f(a)=a
f(b)=a
f(c)=b
などと定義すると、
f(-1)(a)はaとbの2つ
f(-1)(b)=c
f(-1)(c)はない
などとなって、f(-1)が定義できません。
これは、fが単射でも全射でもないからです。

また、
f:{a,b,c}→{a,b,c,d}

f(a)=a
f(b)=b
f(c)=c
と定義すると、
f(-1)(a)=a
f(-1)(b)=b
f(-1)(c)=c
f(...続きを読む

Q1×1行列とスカラーは同一視できるか

1 × 1 行列をスカラーと同一視できるとすれば、行列のスカラー倍の定義と、m × n 行列とn × l 行列の積が m × l 行列になるという行列の積に関する演算規則は矛盾するような気がしますが、この推論は誤りでしょうか?もし誤りだとすればどこに問題点があるのでしょうか?

Aベストアンサー

またまたstomachmanです。No.5へのコメント:

> もともとの問題意識は、 (n次行ベクトル) × (n次列ベクトル) をスカラー積と呼ぶこともある一方で、行列算とみれば1×1行列になるから、「スカラーと1×1行列は同一視できる」と単純に考えていました。

によって、なるほど、ご質問の意図がやっと分かりました。

[1] 行列A,Bを掛ける普通の行列積を「A★B」という記号で表し、二つのベクトルu,vのスカラー積(内積)をu●vと表すことにします。また転置を ' で表します。
 「同一視する」というのは、何かある写像φがあって
φ(u●v) =u'★v
ってことです。ここでφ(x)=yは(xの値からyの値への写像ではなくて)xという式そのものからyという式そのものへの写像であり、つまり「●をする」という演算から「第一引数を転置してから★する」という演算への写像の意味です。これだけを見ると、φの実体は
φ(x) = trace(x)
でも良いし、
φ(x) = x[1,1] (xの1,1成分)
でも良い。
 さて、この写像φを使って、(u●v)という演算と(u'★v)という演算を同一視する。すると、(u●v)の値はスカラーsであるから、
u●v = s
φ(s) =u'★v
と書ける。ならば、u,vを指定しなくたって、スカラーsに対して何かがφ(s)によって対応するんでなくては辻褄が合わない。つまり、φは演算から演算への写像というだけではなくて、スカラーから何かへの写像に必然的に拡張できるだろう。
 でも
φ(x) = x[1,1] (xの1,1成分)
だと思って、
φ(s) =(sを要素とする1×1行列)
としてみると何だか旨く行かない、というのがご質問なのですね?

[2] これに対してstomachman No.1では話が逆になります。
 一つのやり方は、スカラーsについて
φ(s) =(sを要素とする1×1行列)
によって同一視を行うことに決める。sと書いたら「その実体はsを要素とする1×1行列だ」と思うことに断然決めるんです。そして以下、「行列以外のものは全部追放」計画を遂行します。
 ベクトルuについては、
φ(u) = (uの次元と同じ行数を持つn×1の行列Uで、U[i,1]=u[i])
実はこれで初めて、ベクトルの転置が意味を持ちます。
 また、行列A, Bについては、
φ(A) = A
φ(A') = A'
φ(A★B)=A★B
φ(A+B)=A+B
φ(AーB)=AーB
であると決めます。(両辺の+、ーは行列の和、差です)
 スカラーs,t同士の四則演算は
φ(st) = φ(s)★φ(t)
φ(1/s) = inverse(φ(s))
φ(s+t) = φ(s)+φ(t)
φ(s-t) = φ(s)ーφ(t)
(右辺の+、ーは行列の和、差です)

 そうすると、
φ(u●v) =φ(u)'★φ(v)
が成り立つから、もう●は要らない。さて、
D(A,B) = (Bの列数と同じ行数、列数をもち、対角成分が全てA[1,1]である対角行列。)
と書くことにして、行列にスカラーを左から掛けることを※とすると、φ(※)(つまり「※の実体」)は
φ(s※A) = D(φ(s),A)★A
と定めれば良い。
これで※という演算も要らなくなります。かくて行列とD, ', ★, +, ー, inverseで全部書けるようになった。

という話にすれば辻褄は合う訳です。

またまたstomachmanです。No.5へのコメント:

> もともとの問題意識は、 (n次行ベクトル) × (n次列ベクトル) をスカラー積と呼ぶこともある一方で、行列算とみれば1×1行列になるから、「スカラーと1×1行列は同一視できる」と単純に考えていました。

によって、なるほど、ご質問の意図がやっと分かりました。

[1] 行列A,Bを掛ける普通の行列積を「A★B」という記号で表し、二つのベクトルu,vのスカラー積(内積)をu●vと表すことにします。また転置を ' で表します。
 「同一視する」というのは、...続きを読む

Qe^-2xの積分

e^-2xの積分はどうしたらよいのでしょうか…。e^xやe^2xsinxなどはのってるのですがこれが見つかりません。お願いします。

Aベストアンサー

いささか、思い違いのようです。

e^-2x は、 t=-2x と置いて置換してもよいけれど、牛刀の感がします。

e^-2x を微分すると、(-2)*( e^-2x )となるので、

e^-2x の積分は、(-1/2)*( e^-2x )と判明します。

Q最大元と極大元の定義の違いが分かりません

数学の基礎「齋藤正彦著」p22からの抜粋です。

定義
(X,≦)を順序集合,AをXの部分集合とする。
「1) aがAの元でAの全ての元xに対してx≦aが成り立つ時,aをAの最大元といい,maxAと書く,Aの全ての元xに対してa≦xが成り立つ時,aをAの最小元といい,minAと書く。最大元や最小元は存在するとは限らない,あるとすれば一つしかない。
2) aがAの元で,Aのいかなる元xに対してもa<xとならない時,aを極大元という。x<aなるAの元が存在しない時,aを極小元という。極大元や極小元は存在しない事も有るし,沢山存在する事もある」

と定義が紹介されてるのですが最大元と極大元についてのこの文意
"aがAの元でAの全ての元xに対してx≦aが成り立つ"と"aがAの元で,Aのいかなる元xに対してもa<xとならない"
とは同値だと思います。
違いが分かりません。

一体,どのように違うのでしょうか?

Aベストアンサー

>最大元と極大元の定義の違いが分かりません
最大元と極大元は抽象的に考えても違いが分からなくて当然だと思います。ここは具体例で理解するのがよいと思います。

例はいろいろ考えられますが、たとえば、(x,y)∈R^2について、
(x1,y1)≦(x2,y2)をx1≦x2かつy1≦y2と定義します。
A={(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(2,0)}
のとき、Aの最大元は存在しませんが、極大元は3個あります。ちなみに最小限は(0,0)の1個ですね。

ところで、最大元が存在する場合は、全順序集合、半順序集合に関係なく、それは極大元でもあります。しかし、その逆は成り立ちません。
その意味で、「同値」ではありませんね。

Q自身への写像が全単射となることの証明

(1) 写像f:A→Aとする。Aが有限集合であるとき、写像fが単射ならばfは全単射である事を示せ。
(2) Aが無限集合であるとき、fは全単射か。そうであれば証明せよ。そうでないなら反例を示せ。

上の問題の(1)は以下のように考えました。
f(A) は A の部分集合。
f(A)≠A と仮定すると、A とその真部分集合との間に全単射が存在したことになる。これは、無限集合の定義であるため、有限集合は全単射である。

このような証明で十分なのでしょうか?また、上のように考えたのでAが無限集合であるときはfは全単射ではないと思うのですが、反例が思いつきません。

わかる人がいれば教えてください。よろしくお願いします。

Aベストアンサー

Aが有限集合のとき
Aの元の個数を|A|で表わす。
fが単射のとき、|f(A)|=|A|
fが全射ではないとすると、f(A)はAの真部分集合となるので、
|f(A)|<|A|
よって、|A|<|A|となり、矛盾が起こるので、fは全射である。

Aが無限集合のときは、Aの元の個数という概念が通用しないので、
上の議論は成り立たない。
Aとして、自然数全体の集合を考えると、f(n)=2nは単射ではあるが、
全射ではない。
f(A)は偶数全体の集合であるから。

これから、無限集合とは、自分自身の中への単射が存在する、
すなわち、全体と対等な真部分集合を含むような集合である
とも定義できる。


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