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商写像の問題です。
Z:整数全体の集合
複素平面C上の同値関係~を
z~z'⇔z-z'∈Z
商集合Y=C/~と
射影p:C→Yを考える。
Yに商位相を導入し、位相空間とみなす。
(1)C上の写像
f(z)=c(z+i) (c∈C,i:複素数)
に対し、写像g:Y→Yでp・f=g・pとなるものが存在するための係数cの条件を求めよ。
(2)(1)において写像gが存在するとき、gは連続であることを示せ。
pが連続かつ開写像といいたいのですが、どの条件からいえますか?
Yに商位相を導入するだけでpは連続かつ開写像なんですか?
(1)はfが連続となるための条件を求めると言い換えていいですよね?
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
(1)
c∈Z,(cが整数)がgの存在条件となる
c∈Zならば
p(z)=p(a),z-a∈Zのとき
f(z)-f(a)=c(z+i)-c(a+i)=c(z-a)∈Z,p(f(z))=p(f(a)) だから
g:Y→Y,g(p(z))=p(f(z))となるgが存在する
c∈Zでないならば
p(1)=p(0),1-0=1∈Z,f(1)-f(0)=c∈Zでない,p(f(1))≠p(f(0))だから
g:Y→Y,g(p(z))=p(f(z))が定義できないから
c∈Z がgの存在条件となる
(2)
D={V⊂Y,p^{-1}(V)開⊂C}を(Yの位相)商位相という
商位相の定義よりV∈D→p^{-1}(V)開⊂Cだからpは連続
V開⊂C,a∈f^{-1}(V)→f(a)∈V
→∃ε>0(G={w∈C:|w-f(a)|<ε}⊂V)
0<∃δ<ε/max(1,|c|),z∈B={z∈C:|z-a|<δ}
|z-a|<δ→|f(z)-f(a)|=|c(z-a)|≦|c|δ<ε
→f(z)∈G⊂V→z∈f^{-1}(V)→a∈B⊂f^{-1}(V)
→f^{-1}(V)開→fは連続
{(1)の条件がなくても fは連続です。}
pとfは連続だから→p・fは連続
(1)からp・f=g・pとなるgが存在するから→g・pは連続
V開⊂C とするとg・pは連続だから
→p^{-1}(g^{-1}(V))開⊂C
商位相の定義より
→g^{-1}(V)∈D
→gは連続
(pが開写像である必要はありません)
No.1
- 回答日時:
> pが連続かつ開写像といいたいのですが、どの条件からいえますか?
連続かつ開写像であることが、この問題とどのような関係にあるかを補足にどうぞ。
>(1)はfが連続となるための条件を求めると言い換えていいですよね?
なぜですか?理由を補足にどうぞ。
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