No.5
- 回答日時:
もう1つ書き忘れてました。
複素平面は、平面でなく、無限遠点も付け加えて球面で考えた方が分かりやすいでしょう。北極を無限遠点と考えて、南極を0と考えます。すると、逆数を取る変換は、北半球と南半球を入れ替える変換になります。赤道は、 0 を中心とする半径 1 の円に相当します。ちなみに、実数軸は、東経(or西経) 0 度の経線と 180 度の経線を繋いだ大円になります。No.4
- 回答日時:
「逆数をとる変換はどうやるのでしょうか」
1/z = x + iy ( x と y は実数)、 r = 3/4 とおきます。中心 3i/4 、半径 3/4 の円は、次の式で表わせます。
| z - ir | = r
よって、 x と y が満たすべき条件は、
| 1/(x+iy) - ir | = r
です。これから、
y = -1/(2r) = -2/3
を得ます(添付図参照)。
*******
一般に、逆数をとる変換により、
0 を通る円は直線に
0 を通らない円は円に
直線は 0 を通る円に
移動します。直線も円の一種(無限遠点を通る円!)とみなせば、常に円を円に移すことになります。平行移動や定数倍が円を円に移すことは明らかなので、結局、一次変換は、常に円を円に移すことになります。
No.2
- 回答日時:
別解です。
結果は、ANo.1さんと同じになります。次の[1]、[2]、[3]は、ご存知でしょうか?
[1] a, b, c, d を複素数として、 w = (az + b) / (cz + d) のような写像のことを「線形変換( linear trasformation )」という。
[2] 線形変換は、上のa, b, c, d を並べた2行2列行列で表すことができる(添付図の S )。2つの線形変換の合成は、行列の積に対応する。
[3] 任意の線形変換は、次の3つの変換の組み合わせで表現できる。
(イ) 平行移動
(ロ) 逆数を取る変換
(ハ) 定数倍する変換
実際、行列 S は、 c≠0 のとき、添付図2行目のような積に分解されます。これを右からみていって、w = (az + b) / (cz + d) は、次の変換を順に施していったものであることが分かります。
(二) d/c を加える平行移動
(ホ) 逆数を取る変換
(へ) (bc-ad)/c^2 倍する変換
(ト) a/c を加える平行移動
ご質問の w = (2zi-1)/(z+2i) は、添付図の行列 T で表現され、これは、添付図4行目のような積に分解されます。よって、これは、次の変換を順に施していったものです。
(チ) 2i を加える平行移動
(リ) 逆数を取る変換
(ヌ) 3 倍する変換
(ル) 2i を加える平行移動
******
(円 |z+5i/4|=3/4 の行先)
例えば、円 |z+5i/4|=3/4 の行先を見てみましょう。この円は、(チ)によって、中心 3i/4 、半径 3/4 の円に移ります。そして、(リ)により、Im(z) = -2i/3 の直線に移ります。さらに、(ヌ)により、Im(z) = -2i の直線に移ります。最後に、(ル)により、Im(z) = 0 の直線(実数軸)に移ります。
(円 |z|=1 の行先)
練習のつもりで、上と同じようなことをやってみてください。
(変換 w = (2zi-1)/(z+2i) を n 回実行したとき)
変換 w = (2zi-1)/(z+2i) を n 回実行することは、行列 T^n に対応します。行列T^n を上の(二)(ホ)(へ)(ト)のように分解(or 添付図の2行目のように分解)すれば、自ずと結果が分かります。なお、Tの固有値が i と 3i なので、お決まりの行列の対角化を行えば、T^n の成分は、簡単に計算できるはずです。
この回答へのお礼
お礼日時:2013/03/09 21:16
回答ありがとうございます。「そして、(リ)により、Im(z) = -2i/3 の直線に移ります」とありますが、逆数をとる変換はどうやるのでしょうか。
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
まず最初に
w=(2zi-1)/(z+2i)
これからzについて解くと
z=-(2iw+1)/(w-2i) …(1)
[|z|=1の写像]
|z|^2=zz~=1より (z~はzの複素共役数とします)
zz~=(2iw+1)/(w-2i)・((2iw+1)/(w-2i))~
=(2iw+1)/(w-2i)・((2iw+1)~/(w-2i)~)
=(2iw+1)/(w-2i)・((-2iw~+1)/(w~+2i))
=(2iw+1)・(-2iw~+1)/((w-2i)・(w~+2i))
=(1+4ww~+2i(w-w~))/(4+ww~+2i(w-w~))
=1
分母を払って
1+4ww~+2i(w-w~)=4+ww~+2i(w-w~)
3ww~=3
ww~=|w|^2=1
∴|w|=1 …(答え)
これは原点を中心とする半径1の円です。
これはw=u+viとおくと
u^2+v^2=1 …これも(答え)の別表現
とも書けます。
[|z+(5i/4)|=3/4の写像] …(◆)
|z+(5i/4)|^2=(z+(5i/4))・(z+(5i/4))~=(3/4)^2=9/16
(1)のzより
(z+(5i/4))・(z+(5i/4))~
=(-(2iw+1)/(w-2i)+(5i/4))・(-(2iw+1)/(w-2i)+(5i/4))~
=(-(2iw+1)/(w-2i)+(5i/4))・(-(-2iw~+1)/(w~+2i)-(5i/4))
=(-4(2iw+1)+5i(w-2i))・(-4(-2iw~+1)-5i(w~+2i))
/(16(w-2i)(w~+2i))
=(1/16)(6-3iw)・(6+3iw~)/(ww~+4+2i(w-w~))
=(9/16)(2-iw)・(2+iw~)/(ww~+4+2i(w-w~))
=(9/16)(4+ww~-2i(w-w~))/(ww~+4+2i(w-w~))
=9/16
従って
(4+ww~-2i(w-w~))/(ww~+4+2i(w-w~))=1
分母を払って
4+ww~-2i(w-w~)=ww~+4+2i(w-w~)
2i(w-w~)=0
w-w~=2iIm(w)=0 (Im(w)はwの虚数部を表す)
∴Im(w)=0 …(答え)
w=u+ivとおけば
v=0つまりw=u(実部のみ)
これは写像がw平面の実数軸ということです。
この写像を繰り返すと
改めて
z=x (y=0)つまりz~=zとおくと
[z-z~=0の写像]
を考える。
(1)を代入して
-(2iw+1)/(w-2i)-(-(2iw+1)/(w-2i))~
=-(2iw+1)/(w-2i)-(-(-2iw~+1)/(w~+2i))
=-(2iw+1)/(w-2i)+(-2iw~+1)/(w~+2i)
=(-(2iw+1)(w~+2i)+(-2iw~+1)(w-2i))/((w-2i)(w~+2i))
=(-(2iw+1)(w~+2i)-(2iw~-1)(w-2i))/((w-2i)(w~+2i))
=-((2iw+1)(w~+2i)+(2iw~-1)(w-2i))/((w-2i)(w~+2i))
=-(2i(ww~+1)-4w+w~+2i(ww~+1)-w+4w~)/(ww~+4+2i(w-w~))
=-(4i(ww~+1)-5(w-w~))/(ww~+4+2i(w-w~))
=0
(4i(ww~+1)-5(w-w~))=0
4(|w|^2+1)-10Im(w)=0
|w|^2+1-(5/2)Im(w)=0
w=u+ivとおくと
u^2+v^2+1-(5/2)v=0
u^2+(v-(5/4))^2=(3/4)^2
|w-(5i/4)|=3/4 …(2)(答え)
(中心5i/4,半径3/4の円)
w=u+ivとおいてu,vを使って表せば
u^2+(v-(5/4))^2=(3/4)^2 …(2')(答えの別解)
となる。
更に写像を繰り返すと(◆)のところに戻り繰り返すことになります。
>n回写像したときの図形と虚軸の交点の値とnを大きくしたときどのような図形になるか。
n回写像したときの図形は、実数軸(w=u)の直線または(2)または(2')の方程式で示される円となrます。
nを大きくしたときも図形は同じで、写像は、実軸と円とが交互に繰り返し現れます。
虚軸との交点は
写像か実数軸(v=0)のとき、原点(0,0)となります。
写像が円のとき(0,5/4±3/4)=(0,2)と(0,1/2)になります。
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