No.2ベストアンサー
- 回答日時:
m,nが互いに素でないとだめなので
そう仮定しておきます
>mで割るとi余り、nで割るとj余るような整数kを求めるには、
>cm+dn=1となる整数c,dを求めておいてk=cmj+dniとすればよい。
これが中国式剰余定理の本質です.
話を簡単にするため
g: Z/mZ × Z/nZ → Z/mnZ
としますが
g([i],[j])=[cmj+dni]
と定めると,このgが同型であることが
引用部分によって証明できます.
この写像がwell-definedであることは簡単に示せます
全射であることが引用部分です
単射であることはmとnが互いに素であることから
簡単に示せます
上記の三段階の証明の手法は代数では頻繁に
使われるので,自分で証明を書き上げてみてください
#整数だけじゃなくて,ある程度一般的な環や
#二個だけじゃなくてもこの定理は成立しますが
#証明はほぼ同様です
No.1
- 回答日時:
後半の = は、すべて、≡(mod mn)ということでよいのでしょうか(ただし、mとnは互いに素)。
とりあえず、後半のようにしてkを決めると、
kが、mで割るとi余り、nで割るとj余る、こと(必要性)は明らかです。
で、問題は、kとしてこの形以外の解がないのか(十分性)てことですが、前半より、
「mで割るとi余り、nで割るとj余る数」をmnで割った余りは一意ということがわかっています。(同型写像なんで、1対1です)
したがって、十分性もいえます。
この回答へのお礼
お礼日時:2005/11/20 01:34
なるほど。
kがそうなるってことを許容してしまうと、必要十分であることが示せてしまいますね。
わかりやすかったです。
ありがとうございました。
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