http://pantodon.shinshu-u.ac.jp/topology/literat …
商空間の定義はここに書かれてある通りなのですが、
これを呼んでもどういうものなのか全くよく分かりません。
そもそも商という名前がついているのに、どこに商(割り算)のような因子が含まれているのでしょうか?
どなたか具体例を挙げて教えて下さい。
No.3ベストアンサー
- 回答日時:
>写像f:X->Yが空間Xより空間Yへ全射な連続写像とする。
ただしYは商位相をもっている。Zを空間としたとき写像g:Y->Zが連続である必要十分条件は、合成写像gf:X->Zが連続写像となることである。
・・・これは定義じゃないですな.
そもそも「商空間」ですらない.
商空間にいれる「自然な位相」のことを
「商位相」というんだけども
商空間と商位相はまったく別物.
もっと初歩的な位相空間・代数・位相幾何の本を読みましょう.
その本は間違いなくあなたにはレベルが高すぎるのでしょう.
集合X上の関係Rで以下の条件を満たすものを同値関係という
Xの任意の元x,y,zにたいして
(1) xRx
(2) xRy <=> yRx
(3) xRy かつ yRz ならば xRz
この同値関係Rを用いて,Xの任意の元xに対して
集合{y∈X | yRx}を定める.これをxのRによる同値類といい
[x]と表す.
このとき,同値類の集合{[x] | x∈X}を
X/R と表し,XのRによる商集合(商空間)という.
#これはまさに同値関係でつながるということで
#空間を割り算しているようなもの
このとき,自然な写像
p_R: X -> X/R を p(x)=[x] によって定める.
これを商空間への「射影」と呼ぶ.
Xが位相空間であるとき,射影p_Rが連続となる
最小の位相をX/Rに導入する.
すなわち,Xの任意の開集合Oに対して,
X/Rの部分集合 p_R^{-1}(O) が開集合であるとして
X/Rに位相を導入する.
この位相のことを,X/Rの商位相という.
これを拡大解釈して,
一般に全射 f:X -> Y に対して
f^{-1}(O) (OはYの開集合)がXの位相を定めるときに
Xには商位相が入っているという.
このとき,写像g;Y -> Zを考える.
Zの開集合Oに対して,gf:X->Zに対して
(gf)^{-1}(O)= f^{-1}(g^{-1}(O))
であることに注意する.
gが連続であるならば,fが連続なので合成gfは連続
gfが連続あるならば,
(gf)^{-1}(O)=f^{-1}(g^{-1}(O))
は開集合.fは連続で,Xは商位相をもつので
Yの開集合Vが存在して,V=g^{-1}(O)とできる
すなわし,gは連続である.
以上かな.
大抵の基本的な本にはこの程度のことは
必ず出てるから,大学生にしては調べ方や
本の探し方がかなり甘いといわれても仕方がないでしょう.
No.2
- 回答日時:
>同値関係・同値類とは反射・対称・推移を満たすものであると思いますが、
>それとどういう関係があるのでしょうか?
これははあなたが
まったく定義を理解していないことを意味しています.
あなたのいう「商空間」の定義は何でしょうか?
#同値類の集合のことを商空間っていうんだけね,普通.
#いわゆる「等化空間」も「同値類の集合」にすぎない.
手元の本には
写像f:X->Yが空間Xより空間Yへ全射な連続写像とする。ただしYは商位相をもっている。Zを空間としたとき写像g:Y->Zが連続である必要十分条件は、
合成写像gf:X->Zが連続写像となることである。
と書かれてあるのですが、それで結局、商位相とは何なのかさっぱり分からないのですが・・・
商位相とは同値類の集合のことなのですが、上記の話も全く関連性が見えて来ないのですが・・・
どなたか助けて下さい。
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