実数体RからRへの写像の全体の集合の濃度＞Rの濃度、について

集合の濃度についての質問です。数学書に、実数体RからRへの写像の全体の集合の濃度＞Rの濃度、とありますが、よくわかりません。なぜかいうと、縦軸と横軸として、実数直線Rをそれぞれとると、集合の包含関係から、実数平面RxRの濃度＞実数直線Rから実数直線Rへの写像の全体の集合の濃度、となり、そのとき、RxRの濃度＝Rの濃度なので、Rの濃度＞実数直線Rから実数直線Rへの写像の全体の集合の濃度、となると私は思うからです。この考えのどこを訂正したらいいのか教えてください。

No.2 ベストアンサー 回答者： ddtddtddt 回答日時： 2008/02/21 12:38

　#1さんと同じです。

　本当は、こんなにざっくり言ってはいけないのでしょうけど・・・。

　xy平面に100×100の格子点を想像して下さい。これをＲ^2と、とりあえずみなします。Ｒ^2は100×100個です。
　ＲからＲへの写像全体を数えてみると、まず1列目からは100通りの選び方があり、そのそれぞれに対して、2列目からは100通りの選び方があり、・・・と、100^100個になります。
　一方Ｒ^2の部分集合の取り方は明らかに、ＲからＲへの写像全体の作り方より多いはずです（各列から必ず一個とは限らないから）。

　従って、
　　　　Ｒ^2の部分集合全体
　　＞　ＲからＲへの写像全体
　　＞　Ｒ^2

となります。点が無限個の場合も不等号の成立を言うためには、対角線論法が必要です。

この回答へのお礼

はじめまして。とんでもありません、ざっくりと、分かりやすく教えてくれたことにとても感謝しています。今までずっと勘違いしていましたが、分かりやすい説明のおかげで正しく理解できたことをとてもうれしく思います。

お礼日時：2008/02/21 19:11

No.1 回答者： koko_u_ 回答日時： 2008/02/18 18:35

>実数平面RxRの濃度＞実数直線Rから実数直線Rへの写像の全体の集合の濃度

が違う。

実数平面RxRの『部分集合全体』濃度＞実数直線Rから実数直線Rへの写像の全体の集合の濃度

です。

証明自体はカントールの対角線論法で容易にできます。

この回答へのお礼

今までずっと勘違いしていましたが、教えてくれたおかげで、理解できました。ありがとうございます。

お礼日時：2008/02/21 19:15