痔になりやすい生活習慣とは?

集合の濃度についての質問です。数学書に、実数体RからRへの写像の全体の集合の濃度>Rの濃度、とありますが、よくわかりません。なぜかいうと、縦軸と横軸として、実数直線Rをそれぞれとると、集合の包含関係から、実数平面RxRの濃度>実数直線Rから実数直線Rへの写像の全体の集合の濃度、となり、そのとき、RxRの濃度=Rの濃度なので、Rの濃度>実数直線Rから実数直線Rへの写像の全体の集合の濃度、となると私は思うからです。この考えのどこを訂正したらいいのか教えてください。

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A 回答 (2件)

 #1さんと同じです。


 本当は、こんなにざっくり言ってはいけないのでしょうけど・・・。

 xy平面に100×100の格子点を想像して下さい。これをR^2と、とりあえずみなします。R^2は100×100個です。
 RからRへの写像全体を数えてみると、まず1列目からは100通りの選び方があり、そのそれぞれに対して、2列目からは100通りの選び方があり、・・・と、100^100個になります。
 一方R^2の部分集合の取り方は明らかに、RからRへの写像全体の作り方より多いはずです(各列から必ず一個とは限らないから)。

 従って、
    R^2の部分集合全体
  > RからRへの写像全体
  > R^2

となります。点が無限個の場合も不等号の成立を言うためには、対角線論法が必要です。
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この回答へのお礼

はじめまして。とんでもありません、ざっくりと、分かりやすく教えてくれたことにとても感謝しています。今までずっと勘違いしていましたが、分かりやすい説明のおかげで正しく理解できたことをとてもうれしく思います。

お礼日時:2008/02/21 19:11

>実数平面RxRの濃度>実数直線Rから実数直線Rへの写像の全体の集合の濃度



が違う。

実数平面RxRの『部分集合全体』濃度>実数直線Rから実数直線Rへの写像の全体の集合の濃度

です。

証明自体はカントールの対角線論法で容易にできます。
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この回答へのお礼

今までずっと勘違いしていましたが、教えてくれたおかげで、理解できました。ありがとうございます。

お礼日時:2008/02/21 19:15

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Q最大元と極大元の定義の違いが分かりません

数学の基礎「齋藤正彦著」p22からの抜粋です。

定義
(X,≦)を順序集合,AをXの部分集合とする。
「1) aがAの元でAの全ての元xに対してx≦aが成り立つ時,aをAの最大元といい,maxAと書く,Aの全ての元xに対してa≦xが成り立つ時,aをAの最小元といい,minAと書く。最大元や最小元は存在するとは限らない,あるとすれば一つしかない。
2) aがAの元で,Aのいかなる元xに対してもa<xとならない時,aを極大元という。x<aなるAの元が存在しない時,aを極小元という。極大元や極小元は存在しない事も有るし,沢山存在する事もある」

と定義が紹介されてるのですが最大元と極大元についてのこの文意
"aがAの元でAの全ての元xに対してx≦aが成り立つ"と"aがAの元で,Aのいかなる元xに対してもa<xとならない"
とは同値だと思います。
違いが分かりません。

一体,どのように違うのでしょうか?

Aベストアンサー

>最大元と極大元の定義の違いが分かりません
最大元と極大元は抽象的に考えても違いが分からなくて当然だと思います。ここは具体例で理解するのがよいと思います。

例はいろいろ考えられますが、たとえば、(x,y)∈R^2について、
(x1,y1)≦(x2,y2)をx1≦x2かつy1≦y2と定義します。
A={(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(2,0)}
のとき、Aの最大元は存在しませんが、極大元は3個あります。ちなみに最小限は(0,0)の1個ですね。

ところで、最大元が存在する場合は、全順序集合、半順序集合に関係なく、それは極大元でもあります。しかし、その逆は成り立ちません。
その意味で、「同値」ではありませんね。

Q集合の濃度

閉区間[0,1]の集合の濃度はN1であることを示せという問題なんですが、まったくわかりません。そもそも濃度とはなんぞや?という状態です。解説や、わかりやすいサイトなどがあればお願します。

Aベストアンサー

フレアではなく、アレフ1ではないでしょうか。
アレフというのは、イスラエルの公用語のヘブライ語のアルファベットで、英語の「A」に当たるものです。

さて、アレフ1というのは、実数濃度です。
濃度というのは、直感的にいえば、無限集合の大きさ・濃さのことです。無限集合なんだから、どの無限集合も、大きさは無限なんじゃないか?といえば、それはその通りなんですが、無限同士を比較する方法があるのです。

それは、ある無限集合Xと無限集合Yの間に、全単射f:X→Yで、1:1の対応がつけば、XとYは、同じ濃度だ、と定義する方法です。

さて、アレフ1というのは、実数全体の濃度です。当たり前ですが、実数全体は、無限個ありますね。さて、閉区間[0,1]にも、無限個の点があることがわかりますか?例えば、0.1より、ちょっと大きい数というのを考えて見ましょう。
0.11>0.101>0.1001>0.10001>0.100001>...>0.1
と、このように、数を作っていけば、0.11と0.1の間に、無限この数があることがわかりますね。

閉区間[0,1]と、実数全体の間に、全単射となる写像を作ってやればいいのです。つまり、ある全単射な関数f(x) (0<=x<=1)の値域が、実数全体であればよいわけです。
このf(x)は、次のようにして、作れます。
まず、正の実数全体{x|x∈R,x>0}と、実数全体の間に、全単射な写像が作れることを示しましょう。実は、良く知られている次の関数が、この全単射な写像になっているのです。
f(x) = ln(x) (x>0)
ln(x)は、xの自然対数です。
なぜか、ちょっと証明してみましょう。ln(x)の値域が、実数全体であることは、既知としてよいですね。x→+0とすれば、ln(x)→-∞ですし、x→∞で、ln(x)→∞。
そして、ln(x)は、連続な関数です。つまり、関数が途中で切れていて、その間で値が飛んでいるなんてことはないので、任意のy∈Rに対して、必ずy=ln(x)とかけるxがあることがわかります。
したがって、正の実数全体と、実数全体の濃度は、同じであることがわかりました。実数全体の濃度のことを、アレフ1といったので、正の実数全体の濃度も、実数全体の濃度と同じアレフ1です。

今は、無限個の話をしているので、有限個の元を加えても、濃度は同じになりますから、正の実数全体に、{0}を加えて、非負の実数全体{x|x∈R,x>=0}も、正の実数全体の濃度も、アレフ1です。
次に、「非負の実数全体」{x|x∈R,x>=0}と、閉区間[0,1]の間に全単射を作ります。

f(x)=2x (0=<x<=0.5)
=1/(2x-1) (0.5<x<=1)

じーっと見てください。全単射が作れているはずです。
これで、閉区間[0,1]と、非負の実数全体が、同じ濃度であることがわかりました。非負の実数全体の濃度は、先ほど示したように、アレフ1だったので、閉区間[0,1]も、アレフ1です。

実は、三角関数tanを使うと、もっと簡単にできます。tan(x)は、x=-π/2でtan(x)=-∞をとり、x=0で、tan(x)=0で、x=π/2で、tan(x)=∞ですから、xを(-π/2,π/2)で動かすと、実数全体に対応してします。しかも、間が全部連続です。0<=x<=1のとき、-1<=1-2x<=1なので、
-π/2<=π(1-2x)/2<=π/2であることに注意すると、

f(x)= tan(π(1-2x)/2)

とすれば、[0,1]の濃度が、実数全体の濃度アレフ1であることが示せます。

フレアではなく、アレフ1ではないでしょうか。
アレフというのは、イスラエルの公用語のヘブライ語のアルファベットで、英語の「A」に当たるものです。

さて、アレフ1というのは、実数濃度です。
濃度というのは、直感的にいえば、無限集合の大きさ・濃さのことです。無限集合なんだから、どの無限集合も、大きさは無限なんじゃないか?といえば、それはその通りなんですが、無限同士を比較する方法があるのです。

それは、ある無限集合Xと無限集合Yの間に、全単射f:X→Yで、1:1の対応がつけば、XとYは、同...続きを読む

Qベルンシュタインの定理がよくわかりません…

こんにちは。
集合論の本を読んでいるのですが、ベルンシュタインの定理でつまづいています…。

当然その証明がよくわからないのですが、なにより一番わからないのが、なぜこの証明が必要なのか?この定理の問題意識(問題提起)は何であったか?という点です。
と言いますのも、mとnをそれぞれ集合の濃度とすると、

m≦nかつn≦m

であれば自明のようにm=nなのではないかと思うからです。
今読んでいるのと別の本を読んでみると、「これは証明を必要とすることなのである」と書いてありますが、なぜなのかがわかりません。
どなたかこの定理が証明を必要とすることを直観的に把握できるように説明していただけないでしょうか?

そして二つ目にわからないのが証明の内容にかかわる部分です。
全体を把握していないので中途半端な質問になりますが、お願いします。

集合M,Nを用意して、
MからNの中への一対一写像(単射のことですよね?)をφ、NからMへの単射をψとします。
そしてψ∘φをΦとすると、ΦはMからMへの単射となります。

このときΦ(M)=M2とすると、「M2はMの部分集合である。またΦはMからM2の上の一対一写像(全単射のこと?)だから、MとM2は対当となる」とあります。

わからないのは2点で、「Φ(M)=M2」からなぜM2がMの部分集合と言えるのか?むしろ包含関係は逆ではないのか(Φは単射だから)という点と、ΦがMからM2への全単射であるといえるのはなぜなのかという点です。

質問は以上です。下二つに関しては、私のとんだ思い違いかもしれません。ですのでどうか最初の一つだけでも、教えていただけると幸いです。

お願いします!

こんにちは。
集合論の本を読んでいるのですが、ベルンシュタインの定理でつまづいています…。

当然その証明がよくわからないのですが、なにより一番わからないのが、なぜこの証明が必要なのか?この定理の問題意識(問題提起)は何であったか?という点です。
と言いますのも、mとnをそれぞれ集合の濃度とすると、

m≦nかつn≦m

であれば自明のようにm=nなのではないかと思うからです。
今読んでいるのと別の本を読んでみると、「これは証明を必要とすることなのである」と書いてありますが、なぜなのかがわかり...続きを読む

Aベストアンサー

最初の点
それは、「濃度」とか「≦」とかがどう定義されているかによって、回答が変わってくる。というわけで、ここでの「濃度」とか「≦」の定義を補足か何かに書いてください。


証明方針はそもかく、まず一般にfが集合Aから集合Bへの写像なら、f(A)はBの部分集合でしょう?これが分からなければ、第一に写像とかf(A)とかの定義を確認してください。で、ΦはともかくMからMへの写像で、Φ(M)=M2なのでしょう?

その次
Φ(M)=M2なのだから、ΦはMからM2への全射でしょう?これが分からないとなると、やはりΦ(M)の定義を確認してください、ということになる。それと、Φは単射だったのでしょう?

Qא (アレフ)の書き方

基数を表す記号 א を手書きする場合、どういう風にかいたらいいんでしょう?
本で活字としてしか見たことが無いので
・手書きだとどんな形になるのか
・筆順はどうなのか
が分かりません。
書き方の載っているサイトを教えていただけたら、なおありがたいです。

Aベストアンサー

http://www.nn.iij4u.or.jp/~hsat/techterm/aleph.html

Q0~1の間にある実数と実数全体にある実数の個数は同じ?

「0~1の間にある実数と実数全体にある実数の個数は同じ。」・・少しニュアンスが違うかも知れませんが、先日数学の先生がこんなことを話してくれました。このことを先生は次のように説明してくれました。数直線上の0~1を半球面とみたて、その半球面上に光源をおき光を放射する。すると半球面上に一対一で光源が実数に対応する。次いで0~1の範囲で作った半球面を取り除けば実数全体にその光源が対応し、よって0~1の間にある実数と実数全体にある実数の個数は同じになる。この話を聞いて、なんだかだまされているような気がしました。本当に「0~1の間にある実数と実数全体にある実数の個数は同じ。」といえるのでしょうか?他にこれを証明する方法を知っている方いらっしゃったら教えてください。

Aベストアンサー

正しくは「濃度が等しい」と言います。

下記URLには実数vs実数は出ていませんが、濃度に関してはわかりやすいかと思います。

参考URL:http://www.gcc.ne.jp/~narita/prog/math/01/

Q単射 全射 全単射 について教えてください

タイトルの通り、単射 全射 全単射についていまいち納得できないので教えてください。

今、手元に問題が5つあるのですが


自然数、整数、実数全体の集合をそれぞれN,Z,Rとする。

(1)f:Z→N f(x)=x2(二乗)
(2)f:R→R f(x)=2x(x乗)
(3)f:R→R f(x)=sinx
(4)f:Z→R f(x)=x3(三乗)
(5)f:R→R f(x)=2x+1

例えば、(1)であれば 
Zが1のとき、Nは1、Zが2のとき、Nは4という風にZが決定すればNはただひとつ必ず決まるから単射。
でも、Zが2のときは、Zは1とも-1ともいえるので全射ではない、ということなのでしょうか。
全単射、というのはそうするとどういった状態を言うのでしょうか・・・

それぞれの問題も全くちんぷんかんぷんです。
どうか教えてください。

Aベストアンサー

(1) f: Z→N, f(x) = x^2
 x = 1,-1 に対し f(x) はどちらも 1 ですから,単射ではありません.
 また N の元 2 に対する Z の元が存在しない (f(x) = 2 になるような整数がない) ため全射でもありません.
 
(2) f: R→R, f(x) = 2^x
 f(x) は単調増加ですから単射といえましょう.つまり x = 5 が与えられたら f(5) = 32 ですし,f(x) = 32 が与えられたらそのような x は 5 しかありません.
 また全射ではありません.R への写像となっていますが,f(x) = 0 や負になるような x がないからです.
 
(3) f: R→R, f(x) = sin x
 sin x は周期関数ですから,たとえば x = 0,π,2π,... と無限に多くの x に対し f(x) が同じ値になります.だから単射ではありません.
 また sin x は -1 から 1 の値しかとりませんから,R の上に全射でもありません.
 
(4) f: Z→R, f(x) = x^3
 f(x) が単調増加ですから単射です.つまり一つの f(x) に対してもとの x が二つ以上定まるということはありません.
 また f(x) = 2 なる x も Z にはないので全射でありません.
 
(5) f: R→R, f(x) = 2x +1
 全単射です.f(x) は単調に全実数をわたるから単射かつ全射です.

(1) f: Z→N, f(x) = x^2
 x = 1,-1 に対し f(x) はどちらも 1 ですから,単射ではありません.
 また N の元 2 に対する Z の元が存在しない (f(x) = 2 になるような整数がない) ため全射でもありません.
 
(2) f: R→R, f(x) = 2^x
 f(x) は単調増加ですから単射といえましょう.つまり x = 5 が与えられたら f(5) = 32 ですし,f(x) = 32 が与えられたらそのような x は 5 しかありません.
 また全射ではありません.R への写像となっていますが,f(x) = 0 や負になるような x がないからです.
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Q懸垂線の長さを求めたいです

ヒモを両端から垂らした曲線、懸垂線の長さを求めたいです。

両端それぞれをA,B(水平)としまして、A,B間の距離と頂点までの高さ(垂れた深さ)で、ヒモ自体の長さを求めたいと思っております。

Excelにて、A,B間の距離と垂れる深さを入力→ヒモがどれだけの長さになるのか、といった物を作りたいのです。

どなたかご教授下さい。宜しくお願い致します。

Aベストアンサー

懸垂線は、双曲線関数cosh(x)=(e^x + e^(-x))/2を用いて
y=a cosh(x/a)
と表せます。aは垂れ具合で決まる正の定数です。
両端の距離をbとすると、ヒモの長さは
s=∫[-b/2, b/2]√(1+(dy/dx)^2)dx
=∫√(1+(sinh(x/a))^2)dx
=∫√(cosh(x/a)^2)dx
=∫cosh(x/a)dx
=2a sinh(b/(2a))
と、簡単な形になります。
垂れる深さをDとすると,
D=y(b/2)-y(0)=a cosh(b/(2a)) -a
と表せるので、これを満たすようにaを定めることになります。このaをDの式で表すのは難しいので、エクセルなら、ゴールシークで計算すればよいでしょう。coshも、sinhもエクセル関数にあります。

参考URL:http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%87%B8%E5%9E%82%E7%B7%9A

Q線形代数の正方行列の三角化について

 現在、大学で線形代数学を学んでいるのですが、対角化の仕方は分かるのですが、三角化の仕方がさっぱり分かりません。
 例えば、

行列A =
8 -9
4 -4

について、固有値を求めると、2になりますよね。
この場合は、2に対する固有ベクトルをp_1とすると、

p_1=
3
2

のみなので、対角化はできずに三角化をするしかありませんよね。

→ここからが分からない部分です。

 このとき、(A-2E)p_2=p_1を満たすp_2を求めると、

p_2=
-1
-1

となり、Ap_1=2p_1,Ap_2=p_1+2p_2であるから、
P=(p_1,p_2)とすると、

Pの逆行列×AP=
2 1
0 2

となるそうなのですが、どうしてその仕組みで三角化が
できるか分かりません。
 分かる方がいましたら、解説していただけないでしょうか?宜しくお願い致します。

Aベストアンサー

2x2行列をAとし,非零2次元列ベクトルをp,qとしαを複素数としJ=
[α 1]
[0 α]
としたとき
A・p=α・pかつA・q-α・q=p⇔
A・p=α・pかつA・q=α・q+p⇔
(A・p,A・q)=(α・p,p+α・q)⇔
(A・p,A・q)=(p,q)・J⇔
A・(p,q)=(p,q)・J⇔
J=(p,q)^(-1)・A・(p,q)

(A-α・E)・q=pかつ(A-α・E)・p=0かつp≠0だからpとqは独立であることに注意

Q年齢確認が甘い居酒屋チェーン店

20歳をとっくに超えているのですが同い年の友人と居酒屋に行ったりするとたまに年齢確認をされます。
まだ未成年だった時はなんにもなかったのに…。
最近は厳しいのでしょうか。
しかし私は証明する物を持っていません。
免許もなければフリーターなので社員書もなし。
パスポートもありません。
なので口頭で生年月日を言えば通してくれる居酒屋ってどこですか?
甘い店を教えて下さい!

Aベストアンサー

最近確認が厳しいですよね…
私も、よく聞かれるんですが同じく運転免許持ってないし、
パスポートや保険証持ち歩くのも怖いので病院の診察券持ち歩いてます。

生年月日書いてるので、居酒屋チェーンとかならこれでOKですよ♪

直接の回答でなくてごめんなさい。

Qwell-definedについて

ある問題集に以下のことが書かれていました。
「整数aのmを法とする剰余類は
[a]={x|x≡a(mod m)}とする。
また、Z/mZ={[x]m|x∈Z}とする。
a,b∈Z、剰余類に加法+を定義する:
[a]+[b]=[a+b]
これは代表元の選び方に依存しない。
すなわち演算+はwell-definedである。」

ここで何故「これは代表元の選び方に依存しない。
すなわち演算+はwell-definedである。」
といえるのですか?
よく意味が分かりません。教えてください。

Aベストアンサー

商空間に演算を入れるときはいつでもwell-definedを証明しなくてはなりません。やさしいので出来れば自力でやっていただきたいですが、おそらく初めてのことだろうと思うので、一例です。参考にしてみてください。

今、ある代表元、a,bを取ってきて、[a]+[b]を[a+b]で定義します。
そして別の代表元a'、b'を取ってきて[a'+b']を計算したとします。
もし[a+b]=[a'+b']でないのなら、この演算は代表元の取り方に依存したことになりますし、
逆にこれが等しいのであれば、代表元の取り方には依存しないわけです。

さて、(a+b)-(a'+b')=(a-a')+(b-b')です。
いま、aもa'もともに同じ剰余類[a]に属していますから、mで割った余りは等しい。
したがって(a-a')|mです。つまりmで割り切れる。
同様に(b-b')もmで割り切れます。
つまり、(a+b)-(a'+b')はmの倍数なわけです。
したがって、a+bとa'+b'は同じ剰余類に属します。
すなわち[a+b]=[a'+b']という分けです。

これは合同式の演算の正当化でもあります。
x≡y (mod m)
z≡w (mod m)
であれば、
x+z≡y+w (mod m)
というものです。余りだけ見るのだから、
余りが等しいものなら何で計算してって一緒(well-defined!)
というわけですね。

商空間に演算を入れるときはいつでもwell-definedを証明しなくてはなりません。やさしいので出来れば自力でやっていただきたいですが、おそらく初めてのことだろうと思うので、一例です。参考にしてみてください。

今、ある代表元、a,bを取ってきて、[a]+[b]を[a+b]で定義します。
そして別の代表元a'、b'を取ってきて[a'+b']を計算したとします。
もし[a+b]=[a'+b']でないのなら、この演算は代表元の取り方に依存したことになりますし、
逆にこれが等しいのであれば、代表元の取り方には依存しないわけです...続きを読む


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