行列の問題で困っています

Vを実ベクトル空間{X∈M(n,C); trX=0}とする。
(1) Vの次元を求めよ
(2) H={Y∈V; Y*=Y}はVの部分空間か。部分空間なら次元を求めよ。
Y*=Yはエルミート行列です。うまいやり方を知らないので、助けていただけないでしょうか。

No.3 ベストアンサー 回答者： hiccup 回答日時： 2015/08/12 13:12

tr : M(n,C) → C

は、R 線形写像ですかね。
だとすれば、これに次元公式をあてはめたらできませんか。

H が R 線形空間であるかどうかは、定義に従って示してはどうですか。（示せないのであれば反例を探す）

L={Y∈M(n,C) ; Y*=Y}　とすると、H が R 線形空間なら L もそうだけど、そうだとして、L の R 上の次元を求めることは容易だと思います。
H は L の中で tr(Y)=0 を満たすものと見ることができるので、tr : L → C で同じようにできそうな気がします。
tr : L → R でもいいけど、大差ないかな。

どうですかね？

この回答へのお礼

tr:M(n,C)→Cは全射な実線形写像。
次元公式とは、この場合dimV=dimM(n,C)-dimC=2n^2-2

V,Lは実ベクトル空間M(n,C)の部分空間
よってH=V∩LはM(n,C),V,Lの部分空間となる。
tr:L→Cは実線形写像で、次元公式よりdimH=dimL-dimR=n^2-1

解答がないため、計算が正しければ解決しましたというのが限度ですが、ありがとうございました。

お礼日時：2015/08/12 23:08

No.2 回答者： fef 回答日時： 2015/08/11 17:41

その線型空間の元で比較的シンプルなもの（例えば

　[ 1　 0　...　 0]
　[ 0　 0　...　 0]
　[ :　 :　...　 :]
　[ 0　 0　...　-1]
や
　[ i　 0　...　 0]
　[ 0　 0　...　 0]
　[ :　 :　...　 :]
　[ 0　 0　...　-i]
など）を集めて基底を構成すればよいでしょう．

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2015/08/10 15:36

「うまいやり方」を知らないなら「『うまいやり方』でないやり方」でやればいいです.