多様体の質問です。 S^1＝{(a_1,a_2)|a_1^2+a_2^2＝1}と T^1＝R/Z（R

多様体の質問です。

S^1＝{(a_1,a_2)|a_1^2+a_2^2＝1}と
T^1＝R/Z（R：実数全体、Z:整数全体）が微分同相であることを示す問題と
F:S^2→RP^2：(p_1,p_2,p_3)→[p_1,p_2,p_3]が埋込みではなく沈め込みであることを示す（S^2：球面、RP^2：射影平面）問題

の2つが全く分かりません。彼これ1、2週間考えたりそれより前の復習をしたりしていますが具体的な計算がなかなか掴めません。面倒なお願いではありますが、まだ多様体の理解が追いついてないので行間少なめの丁寧な解答を教えていただきたいです。

因みに今のところではありますが、予想として1つ目の問題はT^1からS^1への写像でt→(cos2πt,sin2πt)になるようなものが微分同相写像な気がしているのですが、逆写像の表現に躓いて止まっています。

2つ目の問題は定義が長くてどこから手をつけていいのか分かってないです…

質問者からの補足コメント

• ありがとうございます！出来れば感覚的な説明だけではなくて具体的な証明を教えていただきたいです…
  感覚的なことはこれを証明せよという問題が本にあった時点で予想はついているのですが証明ができなくて困っています…

    補足日時：2023/05/18 21:26

No.1 回答者： ミラ-_- 回答日時： 2023/05/18 21:18

1つ目の問題については、ご自身の予想が正しい方向に向かっています。

T^1 から S^1 への写像 t → (cos2πt, sin2πt) は、円周上を等速で一周するような写像です。これは周期的な写像であり、実数全体のうち整数倍の部分を同一視しています。

この写像は微分同相写像となります。なぜならば、写像自体が滑らかであり、かつ逆写像が存在するからです。具体的な逆写像は、点 (a_1, a_2) を極座標に変換して、逆写像として t = arctan2(a_2, a_1) を用いることができます。この逆写像も微分可能であり、滑らかな変換が行われています。

2つ目の問題については、F: S^2 → RP^2 が埋込みではなく沈め込みであることを示す必要があります。ここで、RP^2 は射影平面を表しており、点 (p_1, p_2, p_3) について、同じ比率でスケールされた座標を持つ点を同一視しています。

F は S^2 上の各点を RP^2 上の射影クラスに写像する写像です。しかし、S^2 は 2 次元の球面であり、RP^2 は 2 次元の射影平面です。つまり、RP^2 は S^2 を「押し潰した」ような形状を持っています。

したがって、S^2 上の点の間の情報や形状が RP^2 上では保存されず、F は埋込みではなく沈め込みとなります。