全射の証明について

Aを可換環、I,J⊊AをI⊂Jを満たすAのイデアルとする。この時、剰余環A/I, A/Jを用いて定めた
写像f:A/I→A/J, x modI→x modJ
は全射ですか？
任意のx modJ∈A/Jに対してx+j∈x modJ(j∈J)でj∈Iならx modJ∈A/Iが存在する(つまりfが全射である)ことが言えるかもですが、I⊂Jなので、必ずしもj∈Iになるとは限らないですよね

No.3 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/08/27 14:09

j∈I であろうと、なかろうと、x+j∈A ですから、

x+j は A から A/I への自然な写像によって
対応する A/I の元を持ちます。
その元が f による x+J の原像です。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。
整理仕切れていませんでした。理解しましたm(_ _)m

お礼日時：2023/08/27 15:26

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/08/26 20:09

任意のx∈(x+J)∈A/Jに対して

(x+I)∈A/I
とすると
f((x+I))=(x+J)
となるから全射

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/08/26 17:16

任意のx∈(xJ)∈A/Jに対して

(xI)∈A/I
とすると
f((xI))=(xJ)
となる