ニュートン算について

ある牧草地には、1日に一定の割合で草がのびていて、牛が1頭ずつ同じ割合で草を食べています。25頭の牛では80日で食べつくし、40頭の牛では20日で食べつくします。
(
1)牧草がなくならない状態になるのは、牛が何頭以下の場合ですか。

解答　
20頭以下になると、1日にのび
る草を食べきらなくなる。

(2)30頭の牛では何日で牧草がなくなりますか。
　
（１） の解答がよくわからないのですが、２０頭以下というのはどうしてそうなるのでしょうか？

No.2 ベストアンサー 回答者： torokiti1 回答日時： 2011/10/26 05:02

草は伸びていく、牛が食う

牛がいないと草は、無限に伸びる
牛が多いと草は、なくなる

草の増える速度から出ますね

総和の引算です。

草をたくさん消費して０になったのは、25頭の牛ですね。日数が多くかかっているのでその間草も伸びます。
その量を短い日数で消費した40頭の消費した草を引いてあげると消費差＝草の増えた量がわかります。
それを日数で割ってあげると、一日当たりの増えた速度が出ますね。

　　　Ｘ頭／日＝（25頭×80日-40頭×20日）÷（80日-20日）
　　　　　　　　　＝1200頭・日÷60日
　　　　　　　　　＝20頭（分の草）

20頭の牛は、今ある草を0にすることは出来ませんね。20頭分の草が増えるから。

（２）は、これを当てはめて、日数を求めると出ますね

No.1 回答者： somethinghot 回答日時： 2011/10/26 04:48

「１日に一定の割合で草がのびて」とありますが、これは全体の草の量に対する比率ではなく固定された量がのびるとするのがニュートン算の前提となります（既存の量が５０だろうが１００だろうが一日にのびる量は同じということです）。

(1)について
牧草地にもともと存在していた草の量がわからないので、牛が食べた量に着目します。
１頭の牛が１日に食べる量を１ｋｇとします（本来は比で処理をしますが、このサイトでは表記できないので具体的な単位をつけました）。

２５頭が８０日で食べつくした量は
１ｋｇ×25頭×80日＝2000ｋｇ
４０頭が２０日で食べつくした量は
1ｋｇ×40頭×20日＝800kg
となります。

ここで注目してほしいのは食べつくした量の違いです。2000ｋｇと800kg、この違いはなんでしょうか。これは２５頭の場合は４０頭の場合に比べて食べつくすまでに６０日余計に時間がかかったので、その分草がのびたということです。つまり、この牧草地は６０日で１２００kgの草がのびるのです。
このことから１日あたりにのびる草の量が求められます。
1200ｋｇ÷60日＝20ｋｇ/日
ということで、1日にのびる量が20ｋｇなわけですから、食べられる量が20ｋｇ以下に抑えられれば草はなくならずにすむのです。

(2)について
まずはもともと存在していた草の量を求めます。上で８０日で食べつくした量を２０００kgとしました。これはもともと存在していた草の量と８０日でのびた量の合計です。８０日でのびた量は
20ｋｇ×80日＝1600kg
なので、もともと存在していた草の量は
2000ｋｇ－1600kg＝400kg
となります。これは４０頭が２０日で食べつくした場合で計算しても同様に出せます。

今回は30頭なので、１日に食べられてしまう量は３０kgです。１日にのびる量は２０キログラムなので、差し引きで、１日に１０kgずつ草が減ってゆくことになります。
よって、
４００kg÷１０kg＝４０日
となり、30頭の場合は４０日で草がなくなることがわかります。

この問題はニュートン算の典型です。(2)の処理は別のパターンもありますが、経験上一番理解しやすいと思われる方法を選択しました。ただ、小学生だとどのみち理解まで苦労します……。入場口や給排水などバリエーションはありますが、「もともとの量」と「増える量」と「減る量」に着目させることが理解への近道だと思います。受験期までてこずる子も多いので気長に見てあげてください（小６の保護者の方の質問だと決め付けてしまいました。違っていたらすみません）。