０を無限個足すと・・・

ｎを自然数として、０をｎ個足しても０ですが、無限個足しても０でしょうか。

当たり前、な気もしますが・・・。

有限個の数列に、続く数列をすべて０とする議論があり、ふと疑問に感じました。

ご教授お願いします。

No.6 ベストアンサー 回答者： kabaokaba 回答日時： 2012/03/20 10:06

すでに指摘されているように

「無限個を足す」
ということをどのように定義するか？という一点にかかります．
そこが理解できないで延々と続く議論が多いですけどねー

普通の数学では「無限個足す」というのは
有限個まで足してそれの極限をとる
という意味ですので，
すでに回答があるように
その意味では「0を無限個足す」と「0」です．

決して，0 x ∞ = 0ではないです．
同じ数の足し算が掛け算に書き換えられるというのは
あくまでも有限個の世界だけで定義されています．
有限の類推を無限に無造作に適用してはいけません．

それで
>有限個の数列に、続く数列をすべて０とする議論があり、ふと疑問に感じました。

これは実はきっちり定義されます．
そもそも数列ってのは
自然数全体からなる集合N（の部分集合）から，何らかの集合への写像です．
分かりにくいなら，例えば
自然数全体からなる集合N（の部分集合）から，実数への関数
とみてもいいです．
こうみた場合，そもそも有限数列というのは
Nの有限部分集合からの写像ということになり，
残りを全部0にするというのは
定義されていない部分では0とするというように拡張しているだけです．

気分としては
f(x) = 1 (xが自然数)
f(x) = 0 (xが自然数ではない)
のように場合わけして関数を定義するようなものです．

この回答へのお礼

数列とは何ぞや、というところがストンと胸におちました。

ありがとうございました。

お礼日時：2012/03/21 20:19

No.5 回答者： misawajp 回答日時： 2012/03/20 09:27

0の定義から言えば　0です

No.4 回答者： cozycube1 回答日時： 2012/03/20 07:48

　証明方法はいろいろあるでしょうけど、0を無限個足しても0ですね（たぶん^^;）。

　ただし、無限回足した結果が得られるとせずに、無限回という「極限」を考えた時の値としておいたほうがいいでしょう。

　たとえば、

　(1/2)^1＋(1/2)^2＋…＋(1/2)^n（＋…＝1）

の総和でn→∞とした無限級数って1ですけど、無限回の手続きの結果というものを認めるかどうかは議論があるみたいです。

　たとえば「無限回足した後に」として良いとする人もいれば、「有限回の手続きをいくらでも増やした場合に」までしか認めない人もいるようです。
　おそらく、他の考え方もあったりするんでしょうけど、よく知りません。すみません。

　なので私個人は、「無限回足し終えた」というような言い方は避けるようにしてます。

　それを認めた上で、それの上記各項の1/m（m≠0）を考えると、

　(1/m)(1/2)^1＋(1/m)(1/2)^2＋…＋(1/m)(1/2)^n＋…＝1/m

は、どういう無限回の足し算なのかに関わらず成り立つので、今度はm→∞とすれば0になる、って感じでOKかと思います。

　しかし、これだと極限値のさらに極限値ということになって、どうも野暮ったいので、たぶん別のすっきりした説明があったりするんだと思います。

No.3 回答者： B-juggler 回答日時： 2012/03/20 02:53

お邪魔します。

代数屋です（元ですがね＾＾；）

やはり「無限」と言うのは扱いにくい！　の一言でしょうかね。。。。

Ｎｏ．１さんとおなじく、極限を持ってくる必要があるのと

定義を考えておかなければならなくなります。（と、思います）

おそらくですが、この場合、０×∞　＝　０　と言う式は

ちょっとうかつには使えない気がします。

　＃ダイジョウブだと思いますが、別に回答者同士で争うつもりなどありません。

(=^. .^=)　ｍ（＿　＿）ｍ　(=^. .^=)

No.2 回答者： cbm51901 回答日時： 2012/03/20 02:15

別の見方をすれば、

０ × ｎ　　（ｎ ＝ ∞）　ということですよね。

ゼロに何を掛けてもゼロですから、０ です。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2012/03/20 00:53

「無限個足す」という操作をきちんと定義しなきゃならないんだけど, 何も言わなければ普通

「N個足す」という操作の N→∞ における極限
とするだろうから, 「0 を無限個足し」ても 0.