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タイトルの通りです。0^0が不定なのは
存じていますが、では0^1はいくつでしょうか。
根拠を明確にして回答してもらえれば有りがたいです。
残念ながら今仕事中(せっかくの休みなのに、
他の部署の応援に駆り出されてしまった。ぶつ、ぶつ、ぶつ・・・)ですので質問の背景は帰宅してから補足させてもらいます。
が、背景を推測しながら考えてもらえるのも面白い(かもしれません)。

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A 回答 (18件中1~10件)

0^0は1だと思うことができ、0^1は1だと思うことができます。



なぜなら、f(x)= x^x, g(x)=x^(x+1), (x>0) とおきましょう。すぐに、
f(x)=e^{x log x}, g(x)=e^{(x+1) log x}
であることはわかります。

いま、x -> 0での極限を考えましょう。すると、
f(x) -> e^0 = 1, g(x) -> e^{-∞} = 0
となります。

つまり、x -> 0 での極限であると考えれば値は存在します。
逆に、f(0)=1, g(0)=0であると定義すれば、f, gは0以上の実数の集合上で定義される連続な関数になります。
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#9 の続き。


「1×A=Aを乗法的に書いたのが、A^1=Aです」じゃダメ?
加法的:0×A=O,1×A=A,2×A=A+A,…
乗法的:A^0=I,A^1=A,A^2=A×A,…
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> aのn乗とはn個のaを掛け合わせて得られる数の事である。



この素朴な定義は確かに n が 2 以上の場合しか当てはまらないと思います。

> このような拡張をするためには除算が本質的ですから、0の場合には指数は2以上でなければならないと思っています。
> このような拡張をするためには除算が本質的ですから、

この意味がよく分かりません。n が 0 の場合は確かに除算が出てきますが、n が 1 のときなぜ除算が本質的なのでしょう。
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冪を延長するときは「x^(y+z)=(x^y)(x^z)を破壊しない」ようにすると思います。


そして、
 0=0×0=0^2=0^(1+1)
  =(0^1)×(0^1)
なのだから、0^1=0になるハズです。

直感を延長して次のような感じにできるかなぁ…と思います。
集合に冪算法を
x^y={y→x}={yからxへの写像}
とします。
集合の濃度に冪算法を
(#x)^(#y)=#(x^y)
とします(xとyは集合、#xはxの濃度)。
有限の濃度を自然数と呼びます。
0^1=#{ {}→{0} }=0
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「aのn乗とはn個のaを掛け合わせて得られる数の事である」と考えているようですが、素朴な(歴史的な)考えとしてはあっていると思います。


でも「この素朴な場合から、指数が拡張されていくわけでa^1=aであることも、私としては拡張の結果得られたものであると認識しています。が、このような拡張をするためには除算が本質的ですから、0の場合には
指数は2以上でなければならないと思っています。」
の部分は別の解釈によって回避できます。
言葉としてはNを1個かけるというのは正しくありませんが(かけるという演算は2項演算だから)これを何もかけないという風に解釈しなおします。するとすべての自然数について言葉として矛盾は起こらなくなります。これがあなたの言う拡張に当たります。
つまりA^1=Aと定義するわけです。
これは定義ですから別にかってに変えてもかまわないということになります。(例えばA^1=1としてもいいかもしれない)しかしこのあと-N乗を定義してそこからA^3*A^(-2)=A^(3-2)という風に加法定理を拡張した時A^1=A(Aは0ではない)としないと矛盾することになります。よってA^1=Aは妥当であり、それを0に拡張するのは自然なことです。それを無理やり解釈するならはじめに言った感じになるのです。
参考までにA*0は0、A*1はAですよね。これはA*N=A+A+…と考えると前者は何も足さないつまり0後者はAに何も足さないと考えれば納得いきませんか?
これらの式が定義であって何かから導けるものではないのであなたの疑問は本来ナンセンスです。いくつか?ではなくいくつにすれば矛盾がないか自然かということに疑問を向けたほうがいいと思います。
ちなみに僕の言う定義の仕方は帰納的な定義の仕方なのでもしそれ以外に累乗の定義の仕方があってしかも普通の累乗の定義を包含するようなものから0^1=0導けないとは言い切れません。
ちなみに0の階乗は1と定義しますがこれは階乗をガンマ関数で定義すれば導けるます。
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#6です。

補足です。

>この定義の出典を教えてください。
 えっと、最初の最初は自分で考えました(笑
0以外の数の0乗が1になるっていうのを聞いて疑問に思ったので、
中学の時にちょっと考えて作りました。
 その後、学校(中学・高校・予備校)の数人の教師に聞いて、
その定義で合ってるというので、
今でもこの定義を使っています。
(今のところ矛盾点はありませんし。もちろん、0^0を除いての話ですけど)
 だから残念ながら文献としての出展はありません。
調べようとしたことはあったのですが、
指数を明文化している本のタイトルの見当がつきませんでした。
 あと、以下でも述べますが、私が述べた定義は指数部分が整数のものです。
だから、何らかの本に定義が書いてあるとすれば、
先の私の述べた定義のような形ではない可能性が高いです。


>この理由からすると、指数の範囲は2以上の整数
>である必要があって、拡張はできないわけですね。
 えっと、それじゃあもっと正確に言いますね。
まず、指数部分に整数をもってきて考えるのは、
生活と結びつけやすく、理解されやすいからです。
 しかし、数学は形而上のものなので、
実生活とはかかわりのないものも扱えます。
たとえば、虚数などはその代表でしょう。
 実際、虚数が数学の世界で市民権を得るまで、莫大な年月がかかりました。
虚の解などといって、解とみなされなかったのです。
最終的には、ガウス平面の普及により、ようやく市民権を得ることができました。
 と、少々脱線してしまいました。
先の定義で指数の範囲が2以上である必要がある、
とgraphaffineさんが思ってしまったのは、
私の述べた定義が整数に関して成り立つものだからです。
 実際、考えうるものは数学の対象となる。
という言葉さえ聞くことがあるように、
数学では指数部分に何がこようとかまいません。
実数も有理数も無理数も複素数もです。
(後の方は専門分野に入っていくのでよく分かりませんが)


なんか言い訳みたいな補足になってしまいましたが、よろしいでしょうか?

少なくとも一ついえるのは、
0^1=0です。
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#1です、補足します。


下記にとらわれず、矛盾しなければ自由に定義しても一向に構わないと思います。
回答を自信なしにしたのは、絶対ではないという意味です。

>この素朴な場合から、指数が拡張されていくわけでa^1=aであることも、
>私としては拡張の結果得られたものであると認識しています。

おっしゃるとおり、拡張の結果です。
べき関数f(x)=x^aは、指数aによって、xの定義域は異なります。
ご存知のとおり、一般に、拡張にともなって、xの定義域は狭められていきます。
ただし、べき関数の定義を拡張するとき、定義から受ける恩恵をできるだけ大きくするために、
xの定義域は矛盾を発生させない限りできるだけ大きくするはずです。

べき関数の拡張の段階を、
岩波講座・基礎数学『解析入門1』小平邦彦p89-92
に従って、おっていきますと、下記のようになります。
だたし、肝心の(1)(2)(3)の部分は高校で修得ずみとして書いてありません。

aが自然数a=1,2,3,...の場合、xの定義域は【すべての実数(0を含む)】です。
このとき、実数0を含ませるのは、0^a=0としてなんの矛盾も生じないからです。
むしろ、x^a=0としたほうが、f(x)が連続するため恩恵が大です。
逆に、X=0を定義域から外すと、微分などが面倒になってきます---(1)

aが負の整数a=-1,-2,-3、...の場合、xの定義域は【0を除いたすべての実数】で
(1)を拡張して、f(x)=x^a=1/(x^(-a))と定義されます。---(2)
この段階で、定義域に0を含めると、矛盾が生じますので定義域から除いてあります。

a=0の場合、xの定義域は【0を除いたすべての実数】で、x^0=1と定義します。---(3)
したがって、0^0は定義から外してあります。

次の拡張として、(1)(2)から、nを自然数としてa=1/nと表される場合に、
xの定義域を【正の実数全体(0,負数を含まない!)】に限定して
f(x)=x^aと定義されます。説明は上記本を参照願います。---(4)

次の拡張として、(4)から、nを自然数としてa=-(1/n)と表される場合に、
xの定義域を【正の実数全体(0,負数を含まない!)】に限定して、
f(x)=x^a=1/(a^(1/n)と定義されます。---(5)

次の拡張として、(1)(2)(3)(4)(5)から、nを自然数,mを整数としてa=m/nと表される場合に、
f(x)=x^a=(x^m))^(1/n)と定義されます。---(4)
拡張するとき、xの定義域は【正の実数全体(0,負数を含まない!)】に限定されます。

以下、aを任意の正実数、任意の実数、複素数という順で拡張していきます。

---
高木『解析概論』p240には、つぎのように書いてあります。
一般のべき z^a(z≠0、aは任意の複素数)

この回答への補足

j536様、再度の御回答有り難う御座います。
返事がかなり遅れました事をお詫びします。

>下記にとらわれず、矛盾しなければ自由に定義しても一向に構わないと思います。
>回答を自信なしにしたのは、絶対ではないという意味です。

確かにおっしゃる事は分かりますが、矛盾しない事を確かめるのもかなり大変ですよね。無矛盾性を考えると
そんなに自由には定義できないでしょうね。

で、御回答の内容ですが、代数的な話から解析の話に跳ぶわけですね。

f(x)=x^1は私の素朴な定義からの拡張では0では定義されていませんがx->0のとき、x^1->0だから、f(0)=0と定めると言う事ですね。かなりの説得力を感じますが、g(x)=x^0もx=0での連続性を考えるとg(0)=1になりそうなので、この部分は弱いような気がします。
代数的な矛盾があるから定義しないということになるのでしょうが。

補足日時:2003/12/29 00:00
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<疑問点>


#1の補足で
>aのn乗とはn個のaを掛け合わせて得られる数の事である。
とありますので、ここで逆に質問をします。

では、aのn倍とはどのような定義でしょうか?

<以下、本題>
ちょっと、遠まわしな言い方でしたので、直球で言います。
「aの1倍」はa(定義)
と同様に
「aの1乗」はa(定義)
と認識されてはいかがでしょう。

なお、
「0や負の整数の指数」について、
旧カリキュラムの黄チャート(数2)と呼ばれる参考書では、
「aの1乗はaとする」という意味の記述があります。

<追記>
とはいえ、数学で考えられたことが、感覚的に合わないっていうことは
よくあることではないでしょうか。

この回答への補足

thetasさん、御回答有り難う御座います。返事がかなり遅れた事をお詫びします。

>「aの1乗」はa(定義)
>と認識されてはいかがでしょう。

何故、そのように考えて良いのかをお聞きしたいのですが。それに、高校の参考書レベルでは、厳密な議論
(一応、それを目指しているのですが)には
耐えられないと思います。

他の方にも聞いた(そして、答えてもらえなかった)
のですが、aの範囲はどうなっていますか。

補足日時:2003/12/28 23:45
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追加質問をいただいたので回答します。



>sanoriさん、御回答有り難う御座います。
>初めて見る定義ですが、出典を教えて下さい。

出典は、文献ではなくて、卒業した学校の数学の先生です。(笑)

・・・私って、本を読むのが好きじゃないんですよ。人生の中で完読した本の冊数は、指だけで数えられるかも。(そのくせして、色々な質問に回答しまくっている私って...!?)

独り言はさておいて。
なお、この説明(1×n×n×・・・)は、「0の0乗」に関しては、うまくいかないと考えます。

この回答への補足

sanori様、再度の御回答有り難う御座います。返事がかなり遅れた事をお詫びします。

私見ですが御提示の定義は妥当性に欠けるような気がします。

何故、1を持ち出すかも分かりませんし。
定義と言うよりは、単なる計算方法の説明
のように見えます。

補足日時:2003/12/28 23:40
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3×5は、5を3回足す(5+5+5)だったような気がします。

0×5、5を0回足す?と=0なのは何んでですか?

この回答への補足

ご指摘がありましたように、質問の趣旨がうまく伝わっていない部分がありますので、この場を借りて補足
します。

質問の趣旨は「0^1と言うものは存在するか、
もし存在するならそれは何者で、その値は幾つか?」
と言う事です。

当然ながら、存在しないものに対して何を言っても無意味で、従って、0^1の正体を明確にしてもらえるような解答を望んでいたのですが、
残念ながらまだ明確にはなっていないようです。

jmhさん、御回答有り難う御座います。返事が遅れた事をお詫びします。

べき乗を乗算からの形式的類似性で捉えようとしているようですが、私には、その方針があまり納得できません。

補足日時:2003/12/28 23:27
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Q0乗が1になる理由

題名の通りなんですが、「何かの0乗は必ず1になる」と教わりました。その理由は、
2`3=8
2`2=4
2`1=2
2`0=1
上から指数が一つ下がるごとに半分にすればいいから0乗は1、と説明されました。
確かにそうなるんですけど、0回かけるということなのになぜ1になるのか不思議です。これをなにか納得のいく説明の出来る方がいらっしゃいましたら、ご説明お願いします。

Aベストアンサー

>0回かける

こういう文学的な(?)考え方では理解できません。
「0回掛ける」のではなく、「ゼロ乗とは、分母分子が等しい状態」だと考えてください。

「約分」って覚えていますか?小学4年生で習いましたよね。
「10/20」は、「(1*10)/(2*10)」のことで、分母分子に等しく「10」があるので相殺すると、結局「1/2」と同じ、というアレです。

その上で、指数同士の割り算をしてみましょう。まず前提として、

2^1=2
2^2=4
2^3=8
2^4=16
2^5=32

これはいいですよね?

ここで「2^5」/「2^3」を計算してみましょう。

これは、「32/8」と同じですから、答えは「4」です。「4」ということは「2^2」と同じですよね。

冒頭の約分で考えると、「(2*2*2*2*2)/(2*2*2)」ですから、分母の3つの「2」と分子の3つの「2」を相殺すると、残るのは分子の2つの「2」だけですから、答えは「2*2」で「4」です。

いずれにせよ、「2^5」を「2^3」で割るというのは、「2^(5-3)」と同じなわけです。ここまではいいでしょうか?

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「0」に何を掛けても答えは必ず「0」になりますので、この場合の「A」は何でもよいことになります。
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答えが一つに定まらないので、こういうことを「不定」といいます。

つまり、ゼロ乗は原則として「1」ですが、0のゼロ乗は0/0ですので、この場合だけ例外で「1」ではなく「不定」となります。

>0回かける

こういう文学的な(?)考え方では理解できません。
「0回掛ける」のではなく、「ゼロ乗とは、分母分子が等しい状態」だと考えてください。

「約分」って覚えていますか?小学4年生で習いましたよね。
「10/20」は、「(1*10)/(2*10)」のことで、分母分子に等しく「10」があるので相殺すると、結局「1/2」と同じ、というアレです。

その上で、指数同士の割り算をしてみましょう。まず前提として、

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>工学が1、農学が2、理学部ではそんな変わんないって感じでしょうか。

理学部はひとくくりにできませんよ。
物理学科、数学科などは理1優勢ですし、化学科だと同じくらい、生物学科なら少し理2優勢といった感じです。
#2で示した集計表のとおりです。
細かいこと言い出すと、工学、農学も学科によって色合いがかなり異なりますよ。

大まかなことを言えば、#2の文中に示した進学振り分けについての資料にありますが、
理科一類 工学部・理学部・薬学部・農学部
理科二類 農学部・理学部・薬学部・医学部・工学部
↑は、それなりに人数比率も反映した順番になっていて、理1なら工・理が大部分を占めるし、理2なら農・理・薬が大部分を占めます。

ここまでいろいろ書きましたが、どちらかというと、momomoredさんには#2の集計表とにらめっこしてほしくありません。
むしろ、大学側からの「進学のためのガイダンス」(http://www.u-tokyo.ac.jp/stu03/guidance/H16_html/index.html)や、#2の進学振り分けの資料の中の各学部の紹介とか、あるいは、各学部のホームページ(学部ごとにホームページをもっています)を見て、できれば研究室のホームページまでチェックして、具体的に何がやりたいか、そしてそれをやるためには東京大学のあの研究室で学びたいんだ、ということをしっかりと意識することのほうが大切だと思います(それがなかなかできないわけですが…ハイ)。

あくまで#2の集計表とかは参考までにね。#2で書いたように、入ってから行きたくても行けない学部・学科なんてものはほとんどないですから(文転もありですよ)。
目標高く勉強のほうがんばってください。

>工学が1、農学が2、理学部ではそんな変わんないって感じでしょうか。

理学部はひとくくりにできませんよ。
物理学科、数学科などは理1優勢ですし、化学科だと同じくらい、生物学科なら少し理2優勢といった感じです。
#2で示した集計表のとおりです。
細かいこと言い出すと、工学、農学も学科によって色合いがかなり異なりますよ。

大まかなことを言えば、#2の文中に示した進学振り分けについての資料にありますが、
理科一類 工学部・理学部・薬学部・農学部
理科二類 農学部・理学部・薬学部・...続きを読む

Qy=x^(1/x) の 微分

y=x^(1/x) の微分を教えてください。
簡単な問題なのにすいません。

Aベストアンサー

対数微分法で微分できます。まずは両辺の対数をとって

y = x^(1/x)
→log|y| = log|x^(1/x)|
→log|y| = (1/x)log|x|

このlog|y| = (1/x)log|x|の両辺をxで微分します。

まず左辺をxで微分することを考えます。
f(x) = log|x|とおき、g(x) = yとおくと、
log|y| = f(g(x))
ですので、

(log|y|)'
={ f(g(x)) }'
= f'(g(x)) × g'(x)

です。f'(x) = 1/xですのでf'(g(x)) = 1/y、
g'(x) = (y)' = y'より、
(log|y|)'
= f'(g(x)) × g'(x)
= y' / y

です。
y = x^(1/x)を代入すると

(log|y|)'
= y' / y
= y' / { x^(1/x) }

となります。

(log|y|)' = { (1/x)log|x| }'
→y' / { x^(1/x) } = { (1/x)log|x| }'

この両辺に{ x^(1/x) }をかけると

y' = { x^(1/x) } × { (1/x)log|x| }'

となります。
なので{ (1/x)log|x| }'の計算をすればy'が求まります。
積の微分で解いてください。

対数微分法で微分できます。まずは両辺の対数をとって

y = x^(1/x)
→log|y| = log|x^(1/x)|
→log|y| = (1/x)log|x|

このlog|y| = (1/x)log|x|の両辺をxで微分します。

まず左辺をxで微分することを考えます。
f(x) = log|x|とおき、g(x) = yとおくと、
log|y| = f(g(x))
ですので、

(log|y|)'
={ f(g(x)) }'
= f'(g(x)) × g'(x)

です。f'(x) = 1/xですのでf'(g(x)) = 1/y、
g'(x) = (y)' = y'より、
(log|y|)'
= f'(g(x)) × g'(x)
= y' / y

です。
y = x^(1/x)を代入すると

(log...続きを読む

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タイトルにあるとおり、体積(縦×横×高さ)で出る数字を、重さ(Kg)に置き換えたいのですが、どういう計算をしたらいいのでしょうか?
どなたか教えてください。宜しくお願いします。

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(質量[g])=(体積[cm^3])×(単位体積当たりの質量[g/cm^3])
液体のような場合
(質量[kg])=(体積[L])×(単位体積当たりの質量[kg/L])
(質量[g])=(体積[mL])×(単位体積当たりの質量[g/mL])
ここで,
1[L](1リットル)=1000[mL](ミリ・リットル)=1000[cc]

単位体積当たりの質量には

○鉄やアルミや岩石などの塊では 密度[g/cm^3]または[kg/m^3]

○牛乳や水や油などの液体では  比重[g/cc]または[g/mL]または[kg/L]

○お米や綿や砂や発泡スチロールやビーズなど
隙間に空気があるようなものでは
単位体積の質量を計測した値[g/ml]または[kg/L]など

をつかって計算します。

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ウィキを見ても理解できませんでした。
2の2乗は2×2ですが、
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Aベストアンサー

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例えば 10の2乗は100、10の3乗は1000となります。
これを数字の動きに目を合わせてもう一度、書いてみます。
00010.00000 ←これを2乗すると↓
00100.00000 //10という値が左に1つずれた結果が答え

00010.00000 ←これを3乗すると↓
01000.00000 //10という値が左に2つずれた結果が答え

こういう風に表す事が出来ます。
じゃあ、10のマイナス2乗ってなった場合はどうなるのかというと、
00010.00000 ←これを-2乗する↓
00000.01000 //10という値が右に3つずれた結果が答え

という答えになります。
1を基準点として、右や左にいくつずれるか。
これがべき乗なのです。


で、2のべき乗を考えた時は、
全部2進数で考える必要があります。
00010.00000 ←2進数で表した数値の2
00100.00000 ←2乗した結果。数値で言うと4
00010.01000 //-2乗した結果。数値で言うと0.25


これで何となく分かっていただけたでしょうか?
ちなみに37のx乗を計算するみたいな時があったとしたら、
それは37進数で考えるという計算が必要になるのです。

算数の延長線上だけの概念だけだといまいち理解出来ないですよね。
べき乗って要は指数なんですけど、
そういう難しい話を出来るだけ捨てて、算数の世界で説明出来る位まで掘り下げて説明します。

例えば 10の2乗は100、10の3乗は1000となります。
これを数字の動きに目を合わせてもう一度、書いてみます。
00010.00000 ←これを2乗すると↓
00100.00000 //10という値が左に1つずれた結果が答え

00010.00000 ←これを3乗すると↓
01000.00000 //10という値が左に2つずれた結果が答え

こういう風...続きを読む

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nの1乗はn^1=nですよね?

Q負数の累乗は???

たとえば、-2の2乗は+4ですが、

-2の1.5乗はどうなりますか?

(-2)^1.5=(-2)^(3/2)=(-2)^3/(-2)^2=(-8)/4=-2でよいのでしょうか?

また、(-2)^(√3)なんかはどうすればよいのでしょうか?

Aベストアンサー

(負数を含めた)複素数の複素数乗の一般的な定義は、#4で書いたものです。

具体的に書けば、
(-2)^(3/2)=±2√2i (プラスマイナスの2個とも)
です。

(-2)^√3
は、絶対値が 2^√3 で、偏角が √3π(2n+1) の(nは任意の整数)、加算無限個の複素数全てです。


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