0^1(０の１乗）はいくつでしょうか。

タイトルの通りです。0^0が不定なのは
存じていますが、では0^1はいくつでしょうか。
根拠を明確にして回答してもらえれば有りがたいです。
残念ながら今仕事中（せっかくの休みなのに、
他の部署の応援に駆り出されてしまった。ぶつ、ぶつ、ぶつ・・・）ですので質問の背景は帰宅してから補足させてもらいます。
が、背景を推測しながら考えてもらえるのも面白い（かもしれません）。

No.1 回答者： i536 回答日時： 2003/12/06 17:44

x^1の定義は、任意の実数ｘに関して、x^1=x　です。

これに、x=0を代入すると、　0^1=0　です。

背景？が気になりますが・・・

この回答への補足

何か期待を持たせてしまったかもしれませんが、
背景と行っても大した話じゃありません。

要するに累乗の定義の話（小学校で出てくる一番素朴な場合)です。
私が教えられた定義は次のものです。
ａのｎ乗とはｎ個のａを掛け合わせて得られる数の事である。

従って、当時の私の認識としては「掛け合わせるためにはａが２個以上必要」（１個の数をどうやって掛け合わせるの？)だから
累乗は指数が２以上の整数の場合が暗黙の前提になっていると言うものです。
この認識は現在も変わっていません。

この素朴な場合から、指数が拡張されていくわけでａ＾１＝ａであることも、
私としては拡張の結果得られたものであると認識しています。
が、このような拡張をするためには除算が本質的ですから、０の場合には
指数は２以上でなければならないと思っています。

申し遅れましたが、i536さん、御回答有り難う御座います。
で、確認ですが
＞x^1の定義は、任意の実数ｘに関して、x^1=x　です。
の部分は私の認識とずれていますが、ｘが０でも良いという根拠を教えて下さい。或いは、私の認識の間違いを指摘して下さい。

補足日時：2003/12/07 00:02

No.2 回答者： yassan_yassan 回答日時： 2003/12/06 17:48

No.1の方の回答で十分じゃないかと。

０を１回かけると０になりますね。
根拠と言うのは証明とかでしょうか？
No.1の方の回答で十分に証明になっていると思いますが。

背景？？
全く思いつきません…

この回答への補足

yassan_yassanさん、御回答有り難う御座います。
＞０を１回かけると０になりますね。
累乗の定義は、#1の補足に書いた通りですが
その定義から何故このことが出てくるのでしょうか。
それとも私の定義が間違っていますか。

補足日時：2003/12/07 00:05

No.3 回答者： lunch326 回答日時： 2003/12/06 17:49

０

excelでも電卓で計算しても答えは０。
ある数値の１乗は、その数値そのもを指す。

この回答への補足

lunch326さん、御回答有り難う御座います。
＞ある数値の１乗は、その数値そのもを指す。

このことが０でも成り立つ根拠を教えて下さい。
（文献やどこかのサイトなど)

補足日時：2003/12/07 00:08

No.4 回答者： Cuty_Cat 回答日時： 2003/12/06 18:13

結論から言えば０だと思います。

例えば、２の２乗であれば
２×２となります。
２個の２を掛けると言うことですよね。
２の１乗であれば、２が１個しかないから答えは２。

とすると、０の１乗は０が１個しかないから答えは０だと思います。

あと、０の０乗は１になります。
これは高校の数学で習いました。
０の０乗が１になることの証明は難しいのですが、解説されているページを見つけたので、参照して見て下さい。
同じくこの計算式を参考にすると、０の１乗が０になることも証明できるかもしれません。

もともと数学は得意ではないので、参照先のページを参考にしてみて下さい。
ここの解答欄では証明しようとしても、数式を表現しきればいので、無理だと思われます。

参考URL：http://takeno.iee.niit.ac.jp/~shige/math/lecture …

この回答への補足

Cuty_Catさん、御回答有り難う御座います。
＞２の１乗であれば、２が１個しかないから答えは２。
私の認識している定義は#1の補足に書きましたが
そのことから何故このことが言えるのでしょうか。
それとも私の認識は間違っていますか。

こちらは本題ではないですが、
＞あと、０の０乗は１になります。
これは間違いです。 そもそも０の０乗がどのように
定義されているかが問題であって、その定義が変われば
存在するかしないかも変わるし、例え存在しても
値は変わります。
Cuty_Catさんは０の０乗の定義は何だと思っていますか。
参考ページは特殊な定義のもとで計算しているだけで一般化できるものではありません。
多分、高校で習ったと言うのも特殊な条件の下での話だと思います。
よろしければ、証明の内容を教えてもらえますか。

補足日時：2003/12/07 00:17

この回答へのお礼

＜回答に対する補足＞の参考ページに関する
下記の部分が誤解を招きそうなので、
そのページの作者の名誉のため、補足しておきます。

＞参考ページは特殊な定義のもとで計算しているだけで一般化できるものではありません。

このページでは、冒頭できちんと０＾０は不定形であると述べています。従って、このページで特殊な定義を
一般的であると見なしていると言う事ではありません。

お礼日時：2003/12/28 23:25

No.5 回答者： azumi-openheart 回答日時： 2003/12/06 21:45

２の０乗が１だからといって

０の０乗は、１でいいのかなあ。

だってさ、
２の－１乗は1/2でいいけれど
０の－１乗は、1/0で、不能なんだよね。
ここが気になるのだ。

０で割ることって、できないでしょ。

高校あたりの赤本にちゃんとした定義がのってたきがする。定義を確認するといいんじゃないかな。

この回答へのお礼

azumi-openheartさん、御回答有り難う御座います。
＞０の－１乗は、1/0で、不能なんだよね。
０の－１乗はまた別の話だと思いますが
私も０での除算が不可能である事が指数の拡張が
できない本質的理由だと思っています。

私が挙げた定義はかなり大昔に教えられたものですので、
もし最近教え方が変わったのなら誰かそのことを
ご指摘お願いします。

お礼日時：2003/12/07 00:38

No.6 回答者： sanori 回答日時： 2003/12/06 22:40

ｎ≧１であれば

ある数のｎ乗＝１×ｎを３回掛算

２の３乗＝１×２×２×２
２の２乗＝１×２×２
２の１乗＝１×２

０の３乗＝１×０×０×０
０の２乗＝１×０×０
０の１乗＝１×０　　　　　＝０

この回答へのお礼

sanoriさん、御回答有り難う御座います。
初めて見る定義ですが、出典を教えて下さい。

お礼日時：2003/12/07 00:44

No.7 回答者： suzuhide 回答日時： 2003/12/07 02:55

簡単に言うと０に何を掛けても０です。

つまり、０は何乗しても０です。
でも、最初に０を発見した人はすごいと思いますね。
関係なかったですね、ごめん。m（_ _）m

この回答へのお礼

suzuhideさん、御回答ありがとうございます。
＞つまり、０は何乗しても０です。
要するに任意のｎに対して０＾ｎは０であるとおっしゃってるのですよね。
その任意と考える範囲を教えてください。例えば、ｎが
２の平方根の場合でも０＾ｎは０ですか。

お礼日時：2003/12/07 19:10

No.8 回答者： suima 回答日時： 2003/12/07 03:37

nのa乗＝1*n*n*・・・*n（nはa個）

が定義だったと思います。

だから、０以外の数の０乗は１です。
（0^0が定義外な理由は知りませんが…（汗）

よって、0^1＝1*0＝0です。

最初に1をかける理由は、
乗を考えるときは積の環での計算として考えるので、
その基本元が1だからだそうです。　

また、ある数（≠0）の0乗を1と定義することで、
a^n=a^(n-1)*a
という式が成立するというメリットがあります。

この回答へのお礼

suimaさん、御回答ありがとうございます。
#6と同じ回答なので同じ返事をさせて頂きます。
この定義の出典を教えてください。

＞最初に1をかける理由は、
＞乗を考えるときは積の環での計算として考えるので、
＞その基本元が1だからだそうです。

この理由からすると、指数の範囲は２以上の整数
である必要があって、拡張はできないわけですね。
実際、環では除法が保証されていませんが、指数を拡張
するときは除算が成り立つことが本質的ですからね。

お礼日時：2003/12/07 19:17

No.9 回答者： jmh 回答日時： 2003/12/07 05:33

３×５は、５を３回足す（５＋５＋５）だったような気がします。

０×５、５を０回足す？と＝０なのは何んでですか？

この回答への補足

ご指摘がありましたように、質問の趣旨がうまく伝わっていない部分がありますので、この場を借りて補足
します。

質問の趣旨は「0^1と言うものは存在するか、
もし存在するならそれは何者で、その値は幾つか？」
と言う事です。

当然ながら、存在しないものに対して何を言っても無意味で、従って、0^1の正体を明確にしてもらえるような解答を望んでいたのですが、
残念ながらまだ明確にはなっていないようです。

jmhさん、御回答有り難う御座います。返事が遅れた事をお詫びします。

べき乗を乗算からの形式的類似性で捉えようとしているようですが、私には、その方針があまり納得できません。

補足日時：2003/12/28 23:27

No.10 回答者： sanori 回答日時： 2003/12/07 07:43

追加質問をいただいたので回答します。

＞sanoriさん、御回答有り難う御座います。
＞初めて見る定義ですが、出典を教えて下さい。

出典は、文献ではなくて、卒業した学校の数学の先生です。（笑）

・・・私って、本を読むのが好きじゃないんですよ。人生の中で完読した本の冊数は、指だけで数えられるかも。（そのくせして、色々な質問に回答しまくっている私って．．．！？）

独り言はさておいて。
なお、この説明（１×ｎ×ｎ×・・・）は、「０の０乗」に関しては、うまくいかないと考えます。

この回答への補足

sanori様、再度の御回答有り難う御座います。返事がかなり遅れた事をお詫びします。

私見ですが御提示の定義は妥当性に欠けるような気がします。

何故、１を持ち出すかも分かりませんし。
定義と言うよりは、単なる計算方法の説明
のように見えます。

補足日時：2003/12/28 23:40