
No.6ベストアンサー
- 回答日時:
(ご質問の意図とは合わないでしょうが)もちろん存在します。
それは0です。こういう難しい話は、きちんと問題を記述しないと全然答が違ってきてしまうんです。
「限りなく0に近いが0でない数はあるか」というのなら、
(1) 有理数(分数で書ける数)あるいは実数(πや2の平方根なども数に含める)だけ考えれば存在しません。
(2) 超準解析のような実数の拡大体(無限大や無限小も数の仲間に入れる)を考えるなら、無限個存在します。
「一番0に近いが0でない数が有限個だけあるか」ということなら、
(1) 自然数だけ考えれば1です。
(2) 整数を考えれば-1と1です。
(3) 有理数あるいは実数だけ考えれば存在しません。
(4) 超準解析のような実数の拡大体を考えるなら、無限個存在します。
無限大や無限小を含む数について考えるなら、クヌースの「数学小説 超現実数」(海鳴社)が入門に適しています。既に絶版と思いますが、大きい図書館で見つかるかもしれません。
No.5
- 回答日時:
質問の解釈により回答が変わるのですが、
”0に限りなく近い数”を、0とその”0に限りなく近い数”の間には
他のどんな数も入らない数、とするのであればそれは存在しません。
しかし、”0に限りなく近い数”というものが、0に近い数がいくらでも存在するか?
という意味であれば、存在します。
証明から推測すると、質問の内容は前者であると思います。
そして、証明の方法はKM123様のものであっています。
No.4
- 回答日時:
存在すると思います。
数直線って、今でも習うのでしょうか?
直線上の位置に実数を対応させた線です。
有理数(整数/整数)では線は全部埋まらないが、実数で
隙間なくつながると習った覚えが、だとすると0にはお隣があって
つながってるのでそういう数は存在すると思います。
ただし、円周率を正確にいくつと書けないようにその数もいくつとは
書けないと思いますが。
No.3
- 回答日時:
学校がどのレベルかによるかも知れません。
(大学の数学科とか)「存在」というのは、公理系にも依存すると思いますが、超準解析という分野では、「存在」します。(っていうか、定義します)
従来の微積分ではなく、超準解析では、0に限りなく近いものとして、モナドというものを定義します。
微分の「lim」記号が「ドンドン近づく」というイメージで動的なのがいやなので、超準解析では、無限小の数を定義して、それをつかって普通の四則演算で極限操作を定義します。(もちろん、四則の定義はやり直しです。)
詳しくは、斎藤正彦さんの本とか、数学セミナーの1977年の連載とか見て下さい。
(数学をやめて2年も経ってしまった…)
超準解析の実際の利用法は、釜江さんの本にたしかあります。
No.2
- 回答日時:
0に限りなく近い数字、この説明でいいのではないでしょうか?
数学の証明として書くと、
存在するとする(put a ) aは実数
故に、a/2が存在する |a/2|<|a|
矛盾 故に存在しない
実数は連続していますから、どこまでいっても、もっと近い数があります。
No.1
- 回答日時:
高校までの数学しか習っていないんですが、
存在しないと思います。
微積では極限的に0に近づけた数をイメージすることになりますが、その値が実在しているとは聞いたことがないです。
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