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群論の勉強をしています.
実数の集合に対して積の演算を考えたとき,0の逆元がないので群にはならないという例が出てきました.
それ自体は理解できます.

ただそのとき,0の逆数を定義しないのはなぜだろう?と思いました.
もちろん0の逆数が存在していたら,0と掛け算して0にならなくなるというのがよくある説明かと思うのですが,
そこも厳密に定義をして避けられるような理論はないでしょうか.

虚数を定義してつくったように,0の逆数を定義してつくったらどうなりますか?
不都合が起きますか?新しい数学が生まれますか?

教えて!goo グレード

A 回答 (7件)

単純に「0の逆数を定義」するだけでは, おそらく演算に対するいくつかの規則 (条件) が満たされなくなる. いくつかの規則を崩せば

導入できるような気もするけど, そのように「気をつけなければならない」というのは面倒くさいと思うな.
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tan90度



1/0

で∞になる。

これが0の逆数。

それを壊して
「もちろん0の逆数が存在していたら,0と掛け算して0にならなくなるというのがよくある説明かと思うのですが」

まあ、

0は何を掛けても0の筈ですが、

先ほどの
tan90度=1/0=∞

とした時、
では∞×0=1となるかどうかですね。
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数学の体系が崩れるので。



数学は、分母が0になることを禁じている。
それは、割り算の意味を考えれば容易に理解できる。

ところが、
0/1の逆数は1/0である。
0/2の逆数は2/0である。
0/100000000000000の逆数は100000000000000/0である。
どんな数を分母に持ってきても、逆数が成立しない。
もし成立させるとしたら、今度は「0の逆数は実数の数(つまり無限個)だけある」という問題に直面することになる。
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それを「考える」人は多いけど, 一般的ではなさそう.



少なくとも, 「あなた自身が作り出せていない」という事実がそれを物語っていると思うのだが.
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回答を一部訂正。

0の逆数を0と決めてやる案だと

0×0=0

のはずなのに逆数としては

0×0=1

となっておかしな事になります。なので0の逆数を作るには

0×0^(-1)=1

となる新しい数0^(-1)をでっち上げるしかなさそうな気がします。ただしこの0^(-1)は恐らく前述のように「面白くない(∴考える意味がない)」と言う事になるのではと思います。
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他の回答にあるように、普通の意味での0の逆数は定義できません。

なので0の逆数を作るにはaの逆数をa^(-1)と書くと

a^(-1)=1/a (a≠0)

a^(-1)=0 (a=0)

と言った具合に0の逆数を別口で定義してやればできない事はありません。ただしこのやり方は「0の逆数を作るためだけに0の逆数を作る」と言ったものなので、恐らくは「面白くない(∴作る意味がない)」と言う事ではないかと思います。a≠0の場合との整合性もなさそうなので「無理やり感満載」でしょうし。
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0x=1


となるxがあると仮定すると
1=0x={1+(-1)}x=1x+(-1)x=x-x=0

1=0
となって1≠0に矛盾するから
0x=1
となるxは存在しない
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