0の逆数について

群論の勉強をしています．
実数の集合に対して積の演算を考えたとき，0の逆元がないので群にはならないという例が出てきました．
それ自体は理解できます．

ただそのとき，0の逆数を定義しないのはなぜだろう？と思いました．
もちろん0の逆数が存在していたら，0と掛け算して0にならなくなるというのがよくある説明かと思うのですが，
そこも厳密に定義をして避けられるような理論はないでしょうか．

虚数を定義してつくったように，0の逆数を定義してつくったらどうなりますか？
不都合が起きますか？新しい数学が生まれますか？

No.7 ベストアンサー 回答者： Tacosan 回答日時： 2022/07/22 00:58

単純に「0の逆数を定義」するだけでは, おそらく演算に対するいくつかの規則 (条件) が満たされなくなる. いくつかの規則を崩せば

導入できるような気もするけど, そのように「気をつけなければならない」というのは面倒くさいと思うな.

No.6 回答者： sakuratojoruri 回答日時： 2022/07/21 23:30

tan90度

は
１/0

で∞になる。

これが０の逆数。

それを壊して
「もちろん0の逆数が存在していたら，0と掛け算して0にならなくなるというのがよくある説明かと思うのですが」

まあ、

０は何を掛けても０の筈ですが、

先ほどの
tan90度＝１/0＝∞

とした時、
では∞×０＝１となるかどうかですね。

No.5 回答者： head1192 回答日時： 2022/07/21 21:58

数学の体系が崩れるので。

数学は、分母が０になることを禁じている。
それは、割り算の意味を考えれば容易に理解できる。

ところが、
0/1の逆数は1/0である。
0/2の逆数は2/0である。
0/100000000000000の逆数は100000000000000/0である。
どんな数を分母に持ってきても、逆数が成立しない。
もし成立させるとしたら、今度は「０の逆数は実数の数（つまり無限個）だけある」という問題に直面することになる。

No.4 回答者： Tacosan 回答日時： 2022/07/21 21:37

それを「考える」人は多いけど, 一般的ではなさそう.

少なくとも, 「あなた自身が作り出せていない」という事実がそれを物語っていると思うのだが.

No.3 回答者： finalbento 回答日時： 2022/07/21 17:34

回答を一部訂正。

0の逆数を0と決めてやる案だと

0×0=0

のはずなのに逆数としては

0×0=1

となっておかしな事になります。なので0の逆数を作るには

0×0^(-1)=1

となる新しい数0^(-1)をでっち上げるしかなさそうな気がします。ただしこの0^(-1)は恐らく前述のように「面白くない(∴考える意味がない)」と言う事になるのではと思います。

No.2 回答者： finalbento 回答日時： 2022/07/21 17:29

他の回答にあるように、普通の意味での0の逆数は定義できません。

なので0の逆数を作るにはaの逆数をa^(-1)と書くと

a^(-1)=1/a (a≠0)

a^(-1)=0 (a=0)

と言った具合に0の逆数を別口で定義してやればできない事はありません。ただしこのやり方は「0の逆数を作るためだけに0の逆数を作る」と言ったものなので、恐らくは「面白くない(∴作る意味がない)」と言う事ではないかと思います。a≠0の場合との整合性もなさそうなので「無理やり感満載」でしょうし。

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/07/21 16:34

0x=1

となるxがあると仮定すると
1=0x={1+(-1)}x=1x+(-1)x=x-x=0
∴
1=0
となって1≠0に矛盾するから
0x=1
となるxは存在しない