『０⁰＝１・□』か？

０⁰を数として定義できるかどうかについては、昔から色々と議論されてきました。
数として定義でき、それは０⁰＝１であるという派と、定義できない派に分かれているのが現状だと思いますが、比較的最近、０⁰＝１とすることの妥当性というか正当性についての証明（説明？）を見ました。
「どのような数Ⅹも、Ｘ＝１・Ｘとおける。そして、例えばＸ²はＸ²＝１・Ｘ・Ｘで１にＸを２回かけた数とも定義できる。このことから、０⁰も０⁰＝１・０⁰で１に０を”０回かけた”数とできよう。これは、１に何もかけないということと同値であるから、１のみが残る」
概ね、以上のようなものだったと思います。（違っていたら御免なさい）
しかし、これはおかしいと思うのです。問題にしているのは、０⁰が数として定義できるかどうかなのに、ともかく０⁰が何らかの数Ⅹであることは認めてしまっています。証明（説明？）したいことを前提条件にするのでは循環論でしょう。私見ですが、０⁰＝１は計算機科学上都合がよいということが主な動機だと思います。言い換えれば、都合がよい場面があるかどうかであって、それ以上のものではないと考えるのですが、どう思われますか？

No.5 回答者： puyo3155 回答日時： 2022/10/03 19:18

その通り、便利だから決めた、それだけのことです。

質問の内容が厳密かどうか知りませんが、定議を決める際の便利討議の内容でしょ？理論的に正しい、正しくないの論議をしてもしかたありません。

実際、数学の分野によっては、定義しない場合もありますし、要はツールの使い方を知って、使いこなせばいいだけのことです。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時：2022/10/05 13:02

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/10/03 13:44

＞ 都合がよい場面があるかどうかであって、それ以上のものではない

そのとおりです。
誤解している人が世間には多いのですが、これは
「0^0 を数として定義できるか」という話ではなく、
「x^y を関数としてどう定義したら便利か」という話です。
0^0 に限らず、何かを定義するとはそいうことです。
何かしらの筋が通った理由があれば、0^0 = π だろうが
0^0 = -10000 だろうが、文脈ローカルには好きに定義すればいい。
ただ、0^0 をそのように定義した x^y は
0^0 = 1 と定義した x^y とは別の関数だというだけのことです。
違う関数を同じ記号で書くと、少し紛らわしいですけれども。

0^0 = 1 としようという立場は、計算機科学もそうですが、
主に x^y の y を整数または自然数に限定する文脈で便利なものです。
あなた自身が書いている x^0 = 1, x^(n+1) = x・x^n で冪乗を定義
しようという考えも、そのひとつ。
解析学でも、基本的な道具であるテイラー展開を
f(x) = Σ[k=0→∞] { (d/dx)^k f(x) | x = a }{ (x-a)^k }/k！ と書けて便利
というのがあります。
f(x) = f(a) + Σ[k=1→∞] { (d/dx)^k f(x) | x = a }{ (x-a)^k }/k！ と
しなければ x = a が代入できないというのは、いちいち面倒ですからね。

一方、x^y の x, y を実数や複素数で考える文脈では、
こういう基本的な関数は孤立特異点を除いては正則であってほしい
と考えるのが自然な流れで、lim[(x,y)→(0,0)] x^y が収束しない以上
0^0 は定義しないほうがスッキリして気持ちいいだろという立場もあります。

どちらが好ましいかは、どのような文脈で x^y を使うか、どちらが好きか
といった状況的、主観的な違いによって生じるもので、
どちらが正しいといった話ではないのです。

この回答へのお礼

ありがとうございます！！！

お礼日時：2022/10/05 13:04

No.3 回答者： kairou 回答日時： 2022/10/03 11:09

0⁰=1 は そう決めれば 他の計算で 支障が起きないので、

その様に決めただけです。
そういう決め方を「定義」と呼びますから、理屈ではありません。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時：2022/10/05 13:04

No.2 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2022/10/03 10:23

＞ 都合がよい場面があるかどうかであって、それ以上のものではないと考えるのですが、どう思われますか？

はい。そうだと思います。

Ｒをご存じかどうか分かりませんが、

0^0 は、１を返します。

Juliaをご存じかどうか分かりませんが、

6/2(1+2) は、１を返します。（Ｒではエラーですが・・・）

このような計算ソフトを使う一派は、そうするのが都合が良いと思っているので、違うと言われても、余計なお世話と思うだけですね。

それがイヤなら、使わなくても良いよ。ってことですかね。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時：2022/10/05 13:05

No.1 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2022/10/03 09:59

６÷2(１＋２) をどうするかと同じで、それぞれの分野で定義しています。

郷に入れば、郷に従え、で良いのではないでしょうか。