互いに素と負の数

質問が複数ありまして、どうか教えてください。
ア:２整数A、Bが互いに素というとき、A、Bは自然数というのは前提ですか？例えば－2と－5や、－2と5は互いに素と言わないですか？
互いに素なら最大公約数が1のみだから、言わないのでしょうか？

イ:公約数に負の数は入りますか？例えば6と4の公約数の１つは－2、などと言いますか？

ウ:互いに素であることを示すなら、最大公約数が1しかないことを示すのと、公約数が１しかないことを示すのとどっちが普通ですか？

基本的なことですみませんが、基本が曖昧だったのでお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： alice_44 回答日時： 2011/02/07 22:30

1 を割り切る数のことを「単数」と言います。

整数の世界(有理整数環)では、1 と -1 が単数です。
整除関係を考えるとき、因子の単数倍については余り気にしません。
整数の素因数分解については、例えば
30 = 2×3×5 = (-2)×(-3)×5 = 2×(-3)×(-5) = (-2)×3×(-5)
のように、-1 の付け方でいろいろバリエーションがあるのですが、
式中での因子の並び順や、各因子の単数(-1)倍は無視して、
「素因数分解は一意である」と言います。
2 が 30 の因数であることと、-2 が 30 の因数であることは、
同じことである　…とみなしているのです。

だから、ア.「互いに素」についても、２数が負数を含んでも構いません。
－2 と－5 や －2 と 5 では、公約数は 1 と -1 ですが、この２つは
互いに単数(-1)倍の関係なので、因子としては 1 個とみなすのです。
－2 と－5 は、互いに素です。

イ. についても、-2 は 6 と 4 の公約数か否か？ と問われれば、
答えは「公約数である」ですが、公約数を挙げよと言われたとき、
負の公約数までいちいち挙げる必要は普通ありません。
「2 は 6 と 4 の公約数である」とだけ述べれば、その文意として
2 の単数倍である -2 が 6 と 4 の公倍数であることも含んでいる
と考えるからです。

因子の単数倍については、言わずもがなだから毎度言及はしない
だけで、負数も公約数公倍数に含まれることに違いはありません。

ウ. の２つの条件は、どちらも全く同じです。
元が 1 個しかない集合の最大値は、その 1 個の元ですから、
互いに素な２数の最大公約数と公約数は同じことです。
どちらが 1 個しかないと言っても、論理に違いはありません。
ただし、この場合も、「1 だけしかない」は、1 と -1 だけしかない
ことを指して言っているのです。

この回答へのお礼

疑問が解決しました。ありがとうございました。

お礼日時：2011/02/08 19:22