教えて!gooにおける不適切な投稿への対応について

質問が複数ありまして、どうか教えてください。
ア:2整数A、Bが互いに素というとき、A、Bは自然数というのは前提ですか?例えば-2と-5や、-2と5は互いに素と言わないですか?
互いに素なら最大公約数が1のみだから、言わないのでしょうか?

イ:公約数に負の数は入りますか?例えば6と4の公約数の1つは-2、などと言いますか?

ウ:互いに素であることを示すなら、最大公約数が1しかないことを示すのと、公約数が1しかないことを示すのとどっちが普通ですか?

基本的なことですみませんが、基本が曖昧だったのでお願いします。

gooドクター

A 回答 (1件)

1 を割り切る数のことを「単数」と言います。


整数の世界(有理整数環)では、1 と -1 が単数です。
整除関係を考えるとき、因子の単数倍については余り気にしません。
整数の素因数分解については、例えば
30 = 2×3×5 = (-2)×(-3)×5 = 2×(-3)×(-5) = (-2)×3×(-5)
のように、-1 の付け方でいろいろバリエーションがあるのですが、
式中での因子の並び順や、各因子の単数(-1)倍は無視して、
「素因数分解は一意である」と言います。
2 が 30 の因数であることと、-2 が 30 の因数であることは、
同じことである …とみなしているのです。

だから、ア.「互いに素」についても、2数が負数を含んでも構いません。
-2 と-5 や -2 と 5 では、公約数は 1 と -1 ですが、この2つは
互いに単数(-1)倍の関係なので、因子としては 1 個とみなすのです。
-2 と-5 は、互いに素です。

イ. についても、-2 は 6 と 4 の公約数か否か? と問われれば、
答えは「公約数である」ですが、公約数を挙げよと言われたとき、
負の公約数までいちいち挙げる必要は普通ありません。
「2 は 6 と 4 の公約数である」とだけ述べれば、その文意として
2 の単数倍である -2 が 6 と 4 の公倍数であることも含んでいる
と考えるからです。

因子の単数倍については、言わずもがなだから毎度言及はしない
だけで、負数も公約数公倍数に含まれることに違いはありません。

ウ. の2つの条件は、どちらも全く同じです。
元が 1 個しかない集合の最大値は、その 1 個の元ですから、
互いに素な2数の最大公約数と公約数は同じことです。
どちらが 1 個しかないと言っても、論理に違いはありません。
ただし、この場合も、「1 だけしかない」は、1 と -1 だけしかない
ことを指して言っているのです。
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この回答へのお礼

疑問が解決しました。ありがとうございました。

お礼日時:2011/02/08 19:22

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