最大公約数は必ず正の整数になるのですか。

最大公約数は必ず正の整数になるのですか。

No.8 回答者： tknakamuri 回答日時： 2019/07/28 00:02

高木貞治とか、私の大学の教科書だと

GCMは正数。GCMの対象となるのは
1つ以上の0以外の整数で、正数ではありません。
-6と8のGCMは2です。

-6の約数は―-6、-3、-2、-1、1、2、3、6
8の約数=-8、-4、-2、-1、1、2、4、8
公約数は -2、-1、1、2
最大公約数は勿論2です。
約数、公約数は正負に対称になり、1を含むので
GCMがー未満になることは有りません。

GCMの対象を正数に限るのは高校数学のローカルルールっぽいですね。
まあどうでもよい話だけど。

因みに、LCMは、私の持っている大学の教科書では
最小の正の公倍数、
です。

いずれにしても正になるように「定義」されてます。

No.7 回答者： kairou 回答日時： 2019/07/27 14:17

質問の意味が 変です。

最大公約数 と 最小公倍数 とは、
次の様なものとされています。
・２つ以上の正の整数の共通な倍数（公倍数）のうち最小のものを最小公倍数といいます。
・２つ以上の正の整数に共通な約数（公約数）のうち最大のものを最大公約数といいます。
つまり、初めから 負の数が 入る余地が無いのです。

No.6 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/07/27 13:57

自然数だけを考えるときには、約数も自然数だけと決めておけば簡単ですが、

整数の最大公約数とか、最小公倍数とかを考えるときには、符号の処理を
決めて置かなければなりません。これを通常は、各因数の符号は無視する
ことに規約します。例えば、6 と -10 の最大公約数が 2 であるというのと
-2 であるというのは「同じことだ」と決めてしまうのです。
符号は無視しているので、最大公約数が正の数か負の数かには意味がありません。
強引なようですが、これによって、整数の素因数分解も一意になります。
そうでないと、負の整数を素因数分解するために -1 を素数としなければいけない
ことになって、いろいろ問題が派生してきます。

No.5 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2019/07/27 12:18

数学は定義と公準が出発点の学問。

先ずは公約数の定義をおさらいする様に。

No.4 回答者： 銀鱗 回答日時： 2019/07/27 11:58

極端な例を自分で考えてみればいい。

例えば……
　－12と－8
　－12と＋8
　＋12と－8
　＋12と＋8
……のようなケースを考えてみよう。
これを考える過程で、どうなるか理解できると思います。

・・・
結果を教えられるだけでは、しばらくすると忘れてしまうけど、
自分で考えて答えを導き出したものは簡単には忘れない。
こういう考え方をすることを覚えると他の問題も自分で解けるようになるので学力が上がりますよ。

No.3 回答者： GOMΛFU 回答日時： 2019/07/27 11:30

一つでも0が含まれていれば最大公約数は存在しません。

No.2 回答者： konjii 回答日時： 2019/07/27 11:22

数学で

２つ以上の正の整数に共通な約数（公約数）のうち最大のものを最大公約数といいます。
と定義されています。
最大公約数は必ず正の整数です。

No.1 回答者： Mokuzo100nen 回答日時： 2019/07/27 10:27

いいえ。

母集合の元の種類によります。