確率で「試行の独立」「事象の独立」２つの関係

Question

確率で「試行の独立」「事象の独立」２つの関係を教えて下さい。

「試行の独立」は、２つ以上の試行が他の試行に影響を与えない場合のこと。

「事象の独立」は、P（A∩B）＝P（A）×P（B）が成り立てば独立、成り立たなければ従属。

と書いてあるのですが、この２つはどの様な関係なのですか？

例えば、

「事象の独立」で従属であったとしても、「試行の独立」がある　など・・・。

試行の独立は分かるような気がしますが、「事象の独立」あまりよく分かりません。

alice_44 · Accepted Answer

←No.5 補足
補足質問が２つあるようですね。

(1) 独立でない試行から独立な事象を取り出す例。

そのために、変則的なサイコロの振り方を考えます。
まづ、普通にサイコロを振り、１回目の出目を確定します。
次に、もう一回サイコロを振り、
１回目が偶数で２回目が「１」だったときだけ、
２回目の値を「２」にスリ替えます。

このようにすると、１回目が奇数だった場合は、
２回目の出目を３で割った余りが
0、1、2 である確率はそれぞれ 2/6、2/6、2/6、
１回目が偶数だった場合には、
２回目の出目を３で割った余りが
0、1、2 である確率は 2/6、1/6、3/6 になりますから、
１回目と２回目の出目は、独立でない試行になります。

しかし、この試行から、１回目が偶数という事象と
２回目が３の倍数という事象を取り出すと、
両者は独立になっています。(確率を計算してみて下さい)

もちろん、１回目が偶数という事象と
２回目が３で割ると１余るという事象を取り出せば独立ではない訳で、
独立でない試行間から取り出した事象は、
独立な場合も独立でない場合もあるのです。

他方、独立な試行間から取り出した事象は常に独立です。

(2) 単一の試行から独立な事象を取り出す例。

これは、既に No.1 で間違え、No.3 で訂正したように、
サイコロを一回振って、偶数が出るという事象と
３の倍数が出るという事象が、その例になります。

偶数が出る確率は 3/6、３の倍数が出る確率は 2/6、
偶数かつ３の倍数が出る確率は 1/6 ですから、
(3/6)×(2/6)=1/6 が成立しています。

alice_44 · Answer

「試行」も「事象」も、「確率変数」の別名です。
だから、「～の独立」の意味は一緒です。

「試行」のほうは、確率変数が複数あるとき
(特に、個々の変数が共通の確率分布に従うときなど)、
その中の個々の確率変数を「試行」と呼ぶことが多いようです。

「事象」のほうは、確率変数が真偽二値の変数である場合
だけに使います。

ややこしいのは、多値を取りえる確率変数に対して、
その個々の値の出現を真偽二値の変数と見て、
「事象」と呼ぶことがある点です。

例えば、サイコロを何回か振る際、
各回サイコロを振る行為は「試行」だけれど、
一回めに奇数が出るとか、一回めに３の倍数が出るとかの
各々は「事象」です。

同じ試行から採った異なる事象は、
決して独立にはなりません。
各回の試行が独立であるとしても、
それとは別の話になります。

naniwacchi · Answer

こんばんわ。

まず、「試行」とは操作自身のことを指しており、
「事象」はその試行で現れる結果のことを指しています。

なので、
・「試行の独立」とは、それぞれの操作が互いに影響しないことであり、
・「事象の独立」とは、試行の結果としての事象に対する確率が互いに影響しないこととなります。

どちらかというと「試行の独立」は、
繰り返しおこなわれるような操作（トランプや玉を引いては戻すというとき）に用いられることが多いと思います。

一方、「事象の独立」は「操作の結果」について述べています。
「サイコロとコインを投げて、サイコロは偶数の目、コインは表が出る。」
このようなとき、偶数の目が出ることと表が出ることは互いに影響していないことになります。
ですので、この確率は 1/2×1/2＝ 1/4と計算できることになります。

alice_44 · Answer

サイコロを二回振ったとき、一回目と二回目は、
確率分布は同じだけれど、異なる試行です。

奇数が出ると、同時に偶数が出ることは無いので、
一回目に奇数が出る事と一回目に偶数が出る事は、
背反事象となります。
P(一回目に奇数が出る) = P(一回目に偶数が出る) = 1/2,
P(一回目に奇数が出る∧一回目に偶数が出る) = 0 なので、
両者は独立ではありません。

これとちょっと似ているようでも、
一回目に奇数が出る事と二回目に偶数が出る事は、独立です。
異なる事象を、同じ試行からとったか異なる試行からとったか
というのは、この違いを指して言っています。

No.1 で「同じ試行から採った異なる事象は、
決して独立にはなりません。」と書いたのは、間違いでした。
「同じ試行から採った異なる事象は、独立とは限りません。」が正しい。

一回目に奇数が出る事と一回目に３の倍数が出る事は、独立でした。
このように独立になる場合もあるのですが、
一回目に奇数が出る事と一回目に偶数が出る事のように
独立でない場合もあり、試行が独立反復試行の一回だからといって
独立と決めてかかることはできないのです。

一回目に奇数が出る事と二回目に偶数が出る事のように
異なる試行からとった事象は、夫々の具体的な内容によらず、
試行が独立であれば必ず独立になります。

naniwacchi · Answer

#2です。

#1さんへの「お礼」についてですが。

＞サイコロを１回振って（同じ試行？）、
＞１回目に奇数が出る事と、１回目に偶数が出る事が（異なる事象？）
＞独立にはなぜならないのでしょうか？

これは独立ではなく、「排反」です。
1回の試行において、同時におこらない事象は互いに排反と呼びます。

試行の独立は、複数回の操作（試行）に対して述べられることになります。

alice_44 · Answer

互いに背反な事象は、同時に起こる確率が 0 です。
二つの事象が独立かつ背反であれば、どちらか
少なくとも一方は、単独でも起こる確率が 0 である
ということになります。

試行の独立は、複数の試行に対して述べられ、
事象の独立は、複数の事象に対して述べられます。
A No.1 のサイコロの例で示したように、
単一の試行から、複数の事象を抽出することができ、
同じ試行から抽出した事象どうしは、互いに干渉する
(独立でない)可能性があります。
互いに独立な異なる試行から抽出した事象どうしは、
常に独立です。

tsuyoshi2004 · Answer

事象の独立しない例とする例を挙げると

よくきったトランプ５２枚から任意の一枚を取り出すとします。

その一枚が、絵札（Ｊ，Ｑ，Ｋ）である確率をＰ（Ａ）として、奇数（Ａは１、Ｊは１１、Ｑは１２、Ｋは１３として）である確率Ｐ（Ｂ）とします。
Ｐ（Ａ）＝３／１３
Ｐ（Ｂ）＝７／１３
であることは明白です。
が、一方で絵札であり奇数である確率Ｐ（Ａ∩Ｂ）は
Ｐ（Ａ∩Ｂ）＝２／１３≠Ｐ（Ａ）×Ｐ（Ｂ）＝２１／１６９
です。

一方で、同様に絵札（Ｊ，Ｑ，Ｋ）である確率をＰ（Ａ）として、赤（ハート、ダイヤ）である確率Ｐ（Ｃ）とすると
Ｐ（Ｃ）＝１／２
であり、
赤の絵札である確率は
Ｐ（Ａ∩Ｃ）＝３／２６＝Ｐ（Ａ）×Ｐ（Ｃ）＝３／２６
となります。

確率で「試行の独立」「事象の独立」２つの関係

「試行」も「事象」も、「確率変数」の別名です。

こんばんわ。

サイコロを二回振ったとき、一回目と二回目は、

#2です。

互いに背反な事象は、同時に起こる確率が 0 です。

事象の独立しない例とする例を挙げると

←No.5 補足

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